Calcule a integral indefinida.

∫ x 1 + x 4   d x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. queremos calcular a seguinte integral indefinida:

∫ x 1 + x 4   d x

Para isso, vamos usar a Regra da Substituição.

Mas que regra é essa?? Bom... trata-se da substituição de uma variável por uma expressão mais simples, tornando a integral mais fácil de resolver.

Quer saber como?? Então bora junto!! 😉

Mas antes vamos reescrever a integral da seguinte forma:

∫ x 1 + x 4   d x = ∫ x 1 + x 2 2 d x

Passo 2

Colocando as mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x   d x

Assim, reescrevendo na integral, obtemos:

∫ x 1 + x 2 2 d x = 1 2 ∫ 1 1 + u 2 d u

Passo 3

Resolvendo a integral, obtemos:

∫ x 1 + x 2 2 d x = 1 2 ∫ 1 1 + u 2 d u

Aqui preciso lembrar que a derivada do arco tangente é 1 / ( 1 + x 2 ) :

1 2 ∫ 1 1 + u 2 d u = 1 2 a r c t g   u + C

Voltando a variável original:

∫ x 1 + x 4   d x = 1 2 a r c t g   x 2 + C

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

1 2 a r c t g   x 2 + C

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