Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (sen 2 x)/(1 + cos^2 x) d x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. queremos calcular a seguinte integral indefinida:

int (sen 2 x)/(1 + cos^2 x) d x

Para isso, vamos usar a Regra da Substituição.

Mas que regra é essa?? Bom... trata-se da substituição de uma variável por uma expressão mais simples, tornando a integral mais fácil de resolver.

Quer saber como?? Então bora junto!! 😉

Mas antes vamos reescrever essa integral utilizando uma identidade trigonométrica!

sen 2 x = 2 ( sen x cos x )

Então nossa integral fica assim,

int (sen 2 x)/(1 + cos^2 x) d x = 2 int (sen x cos x)/(1 + cos^2 x) d x

Passo 2

Colocando as mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = cos x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - sen x d x

Assim, reescrevendo na integral, obtemos:

2 int (sen x cos x)/(1 + cos^2 x) d x = - 2 int (u)/(1 + u^2) d u

Agora podemos fazer outra substituição!!

Passo 3

Podemos fazer:

v = 1 + u^2

Portanto:

d v = 2 u d u

Substituindo na integral, temos:

- 2 int (u)/(1 + u^2) d u = - 2 int (1)/(2 v) d v :.

- 2 int (u)/(1 + u^2) d u = - int (1)/(v) d v

Resolvendo a integral, temos:

- int (1)/(v) d v = - ln v + C

Substituindo v :

- ln (1 + u^2) + C

Passo 4

Substituindo u , temos:

2 int (sen x cos x)/(1 + cos^2 x) d x = - ln (1 + u^2) + C :.

2 int (sen x cos x)/(1 + cos^2 x) d x = - ln (1 + cos^2 x) + C

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

2 int (sen x cos x)/(1 + cos^2 x) d x = - ln (1 + cos^2 x) + C

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