Calcule a integral indefinida.

∫ sen ⁡ 2 x 1 + cos 2 ⁡ x d x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. queremos calcular a seguinte integral indefinida:

∫ sen ⁡ 2 x 1 + cos 2 ⁡ x d x

Para isso, vamos usar a Regra da Substituição.

Mas que regra é essa?? Bom... trata-se da substituição de uma variável por uma expressão mais simples, tornando a integral mais fácil de resolver.

Quer saber como?? Então bora junto!! 😉

Mas antes vamos reescrever essa integral utilizando uma identidade trigonométrica!

sen ⁡ 2 x = 2 ( sen ⁡ x cos ⁡ x )

Então nossa integral fica assim,

∫ sen ⁡ 2 x 1 + cos 2 ⁡ x d x = 2 ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x

Passo 2

Colocando as mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = cos ⁡ x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - sen ⁡ x d x  

Assim, reescrevendo na integral, obtemos:

2 ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x = - 2 ∫ u 1 + u 2 d u

Agora podemos fazer outra substituição!!

Passo 3

Podemos fazer:

v = 1 + u 2

Portanto:

d v = 2 u   d u

Substituindo na integral, temos:

- 2 ∫ u 1 + u 2 d u = - 2 ∫ 1 2 v d v ∴

- 2 ∫ u 1 + u 2 d u = - ∫ 1 v d v

Resolvendo a integral, temos:

- ∫ 1 v d v = - ln ⁡ v + C

Substituindo v :

- ln ⁡ 1 + u 2 + C

Passo 4

Substituindo u , temos:

2 ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x = - ln ⁡ 1 + u 2 + C ∴

2 ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x = - ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x + C

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

2 ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x = - ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x + C

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