Enunciado

Reescreva a integral

∫ - 1 1 ∫ x 2 1 ∫ 0 1 - y f x , y , z   d z   d y   d x

Como uma integral iterada na ordem d x   d y   d z .

Passo 1

E aí meus queridxs, como vocês estão? Vamos lá entender o que a questão está nos pedindo: ela quer que reescrevamos a integral mudando a ordem de integração de tal forma que tenhamos ' d x   d y   d z ' . Sendo assim, vamos primeiramente colocar nossa região de integração bem desenhada aqui, temos o seguinte

Já no plano z y nós temos a seguinte imagem

Passo 2

Pronto, tendo a região de integração em mãos fica tranquilo de inverter a ordem da forma como desejamos. Como queremos   d x   d y   d z vamos precisar colocar nossas variáveis em função das outras, no entanto, z não pode depender de ninguém para esse caso. Perceba, pelo primeiro gráfico que escrevendo x em função de y encontramos do ‘lado’ positivo do plano x y a função y e como ela é simétrica, vamos ter x variando de - y a y . Além disso, analisando o plano z y vamos de forma mais clara a variação de z e y para nosso problema. Sendo assim, temos o seguinte depois da mudança de variável

∫ - 1 1 ∫ x 2 1 ∫ 0 1 - y f x , y , z   d z   d y   d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z ∫ - y y f x , y , z   d x   d y   d z

Pronto, tá resolvido nosso problema.

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 - z ∫ - y y f x , y , z   d x   d y   d z

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Calcule o valor da integral múltipla. ∫ ∫ ∫ Ey 2 z 2d V ,o n d eEél i m i t a d op e l op a r a b o l o i d ex = 1 - y 2 - z 2ep e l op l a n ox = 0 é