Enunciado

Calcule o valor da integral múltipla.

int int int_E y^2 z^2 d V , o n d e E é l i m i t a d o p e l o p a r a b o l o i d e x = 1 - y^2 - z^2 e p e l o p l a n o x = 0

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral acima de acordo com a região dada. Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada, então, tomemos a região de integração dada por: E é l i m i t a d o p e l o p a r a b o l o i d e x = 1 - y^2 - z^2 e p e l o p l a n o x = 0 . Assim, nossa integral pode ser reescrita de forma iterada como sendo

int_(- 1)^1 int_(- sqrt(1 - y^2))^(sqrt(1 - y^2)) int_0^(1 - y^2 - z^2) y^2 z^2 d x d z d y

Passo 2

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

int_(- 1)^1 int_(- sqrt(1 - y^2))^(sqrt(1 - y^2)) int_0^(1 - y^2 - z^2) y^2 z^2 d x d z d y

Resolvendo a integral mais interna vamos ter

int_0^(1 - y^2 - z^2) y^2 z^2 d x = [x y^2 z^2]_0^(1 - y^2 - z^2) = (1 - y^2 - z^2) * y^2 z^2

Agora, ficamos com a seguinte integral dupla a ser resolvida

int_(- 1)^1 int_(- sqrt(1 - y^2))^(sqrt(1 - y^2)) y^2 z^2 * (1 - y^2 - z^2) d z d y

Resolver essa integral em coordenadas cartesianas vai dar um pouco de trabalho, então, vamos fazer uma troca de coordenadas para coordenadas esféricas de modo que a gente vai obter a seguinte integral

int_0^(2 pi) int_0^1 (r^2 cos^2 (theta)) (r^2 * s e n (theta)) (1 - r^2) r d r d theta = int_0^(2 pi) int_0^1 (sin^2 (2 theta))/(4) * (r^5 - r^7) d r d theta

Agora, novamente resolvendo a integral mais interna vamos ter

int_0^1 (sin^2 (2 theta))/(4) * (r^5 - r^7) d r = [(sin^2 (2 theta))/(4) * ((r^6)/(6) - (r^8)/(8))]_0^1

= (sin^2 (2 theta))/(4) * ((1)/(6) - (1)/(8))

Por fim, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

int_0^(2 pi) (sin^2 (2 theta))/(4) * ((1)/(6) - (1)/(8)) d theta = int_0^(2 pi) (( 1 - cos (4 theta))/(2 * 4) * ((1)/(6) - (1)/(8)) d theta =

(1)/(192) * [theta - (sin (4 theta))/(4)]_0^(2 pi) = (2 pi)/(192) = (pi)/(96)

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

(pi)/(96)

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