Enunciado

Calcule o valor da integral múltipla.

int int int_E x y d V , o n d e E = {(x , y , z) | 0 <= x <= 3 , 0 <= y <= x , 0 <= z <= x + y}

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral acima de acordo com a região dada. Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada, então, tomemos a região de integração dada por: E = {(x , y , z) | 0 <= x <= 3 , 0 <= y <= x , 0 <= z <= x + y} . Assim, nossa integral pode ser reescrita de forma iterada como sendo

int_0^3 int_0^x int_0^(x + y) x y d z d y d x

Passo 2

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

int_0^3 int_0^x int_0^(x + y) x y d z d y d x

Resolvendo a integral mais interna vamos ter

int_0^(x + y) x y d z = [x y z]_0^(x + y) = x y * (x + y) = x^2 y + x y^2

Agora, ficamos com a seguinte integral dupla a ser resolvida

int_0^3 int_0^x x^2 y + x y^2 d y d x

Novamente resolvendo a integral mais interna vamos ter

int_0^x x^2 y + x y^2 d y = [(x^2 y^2)/(2) + (x y^3)/(3)]_0^x = (x^4)/(2) + (x^4)/(3) = (5 x^4)/(6)

Por fim, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

int_0^3 (5 x^4)/(6) d x = [(5 x^5)/(30)]_0^3 = (5 * 3^5)/(3 0)

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

(5 * 3^5)/(30)

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