Enunciado

Determine (del z)/(del x) e (del z)/(del y)

  1. z = f (x) g (y)
  2. z = f (x y)
  3. z = f ((x)/(y))

Passo 1

  1. z = f (x) g (y)
  2. Para (del z)/(del x) , derivamos z em relação a x , fixando o valor de y .

    (del z)/(del x) = f^' (x) g (y)

    Para (del z)/(del y) , derivamos z em relação a y , fixando o valor de x .

    (del z)/(del y) = f (x) g ' (y)

    Passo 2

  3. z = f (x y)
  4. Para (del z)/(del x) , derivamos z em relação a x , fixando o valor de y .

    (del z)/(del x) = y (f^' (x y))

    Para (del z)/(del y) , derivamos z em relação a y , fixando o valor de x .

    (del z)/(del y) = x (f^' (x y))

    Passo 3

  5. z = f ((x)/(y))

Para (del z)/(del x) , derivamos z em relação a x , fixando o valor de y .

(del z)/(del x) = (1)/(y) (f^' ((x)/(y)))

Para (del z)/(del y) , derivamos z em relação a y , fixando o valor de x .

(del z)/(del y) = x (f^' ((x)/(y)))

Resposta

  1. (del z)/(del x) = f^' (x) g (y) e (del z)/(del y) = f (x) g ' (y)
  2. (del z)/(del x) = y (f^' (x y)) e (del z)/(del y) = x (f^' (x y))
  3. (del z)/(del x) = (1)/(y) (f^' ((x)/(y))) e (del z)/(del y) = x (f^' ((x)/(y)))
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10- Seja u x ,y = f x - a y + g ( x + a y ) , onde a é uma constante real e f e g são funções quaisquer de uma variável real, deriváveis até segunda ordem. Verifique que ∂ 2 u ∂ y 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2
7. Se f (x , y) = x e^((x)/(y)) , mostre que x (del^3 f)/(del x^3) + y (del^3 f)/(del y del x^2) = 0
6-Se f (x , y) = ln (x - y) + t g (x + y) , mostre que (del^2 f)/(del x^2) = (del^2 f)/(del y^2)
Nos exercício de 1 a 4, calcule as derivadas parciais indicadas.1- f x ,y = x 2 + y 2 3 2 , a ) f x x x ,y , b ) f y x ( x ,y )
8. Mostre que as funções satisfazem as respectivas equações de laplace:b) f ( x , y ) = 1 x 2 + y 2 + z 2 , mostrar que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0 .