6-Se f(x, y) = ln(x-y) + tg(x+y) mostre que (∂^2 f / ∂x^2) = (∂^2 f / ∂y^2)

Passo 1

Galera, nós sabemos que:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x

Assim,

f x x x ,   y = ∂ ∂ x ( ∂ ∂ x ln ⁡ x - y + ∂ ∂ x t g   x + y )    

= ∂ ∂ x 1 x - y × 1 + sec 2 ⁡ ( x + y )

= - 1 x - y 2 + 2 sec ⁡ x + y × t g   ( x + y ) sec ⁡ ( x + y )

Passo 2

Agora, nós temos que ver se achamos a mesma expressão pra ∂ 2 f ∂ y 2 , mas para isso temos que lembrar que:

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

Assim,

f x x x ,   y = ∂ ∂ y ( ∂ ∂ y ln ⁡ x - y + ∂ ∂ y t g   x + y + ∂ ∂ y ( x + y ) )    

= ∂ ∂ y 1 x - y × - 1 + sec 2 ⁡ ( x + y )

= - ( - 1 × - 1 ) x - y 2 + 2 sec ⁡ x + y × t g   ( x + y ) sec ⁡ ( x + y )

= - 1 x - y 2 + 2 sec ⁡ x + y × t g   ( x + y ) sec ⁡ ( x + y )

E não é que deu a mesma coisa ?!

Resposta

Demonstração acima.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados