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Justifique geometricamente: y = m x + n   m ≠ 0 e y = m 1 x + n 1 são perpendiculares se e somente se m m 1 = - 1 .

Passo 1

Para duas retas serem perpendiculares é necessário que o coeficiente angular de uma seja igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra.

Vamos considerar que a inclinação das retas r e s são respectivamente α 1 e α 2 , conforme a figura abaixo:

No triângulo ABC temos a relação:

α 2 = α 1 + 90 °

Vamos calcular a tangente dos dois lados da equação:

tg ⁡ α 2 = tg ⁡ α 1 + 90 °

Como a tangente de um ângulo é dada pela razão entre o seno e o cosseno deste ângulo, podemos fazer:

tg ⁡ α 2 = sen ⁡ α 1 + 90 ° cos ⁡ α 1 + 90 °

Passo 2

Vamos usar agora as relações da soma de arcos:

tg ⁡ α 2 = sen ⁡ α 1 cos ⁡ 90 ° + sen ⁡ 90 ° cos ⁡ α 1 cos ⁡ α 1 cos ⁡ 90 ° - sen ⁡ α 1 cos ⁡ 90 ° = cos ⁡ α 1 - sen ⁡ α 1 = - 1 tg ⁡ α 1

Fazendo:

tg ⁡ α 1 = m 1 e tg ⁡ α 2 = m 2

Substituindo no que achamos da relações da soma de arcos:

tg ⁡ α 2 = m 2 ↔ m 2 = - 1 tg ⁡ α 1 ↔ m 2 = - 1 m 1 ↔ m 1 ∙ m 2 = - 1

Pronto, conseguimos justificar.

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