Enunciado

Prove:

underset(x -> p)(lim) f (x) = L <=> underset(x -> p)(lim) [f (x) - L] = 0

Passo 1

Fica ligado! Essa parada que ele pediu pra provar tem a seta nas duas direções, ou seja, a gente tem que provar a ida e a volta! A propriedade que vai ser a nossa salvadora aqui é a que diz o seguinte: o limite da diferença é igual à diferença dos limites. Essa parada em notação matemática é:

underset(x -> p)(lim) [f (x) - g (x)] = underset(x -> p)(lim) f (x) - underset(x -> p)(lim) g (x)

Essa parada vai ser útil pra gente porque podemos fazer g (x) = L , e aí chegamos na expressão que ele deu!

Passo 2

Vamos começar provando a ida. Se underset(x -> p)(lim) f (x) = L , então underset(x -> p)(lim) [f (x) - L] = 0

underset(x -> p)(lim) [f (x) - L] = underset(x -> p)(lim) f (x) - underset(x -> p)(lim) L

underset(x -> p)(lim) [f (x) - L] = underset(x -> p)(lim) f (x) - L

Mas a gente sabe que underset(x -> p)(lim) f (x) = L , e então:

underset(x -> p)(lim) [f (x) - L] = L - L

underset(x -> p)(lim) [f (x) - L] = 0

Beleza, era isso que a gente queria!

Passo 3

Agora vamos provar a volta. Se underset(x -> p)(lim) [f (x) - L] = 0 , então underset(x -> p)(lim) f (x) = L . Vamos usar a propriedade da diferença dos limites de novo!

underset(x -> p)(lim) [f (x) - L] = 0

underset(x -> p)(lim) f (x) - underset(x -> p)(lim) L = 0

underset(x -> p)(lim) f (x) - L = 0

Passando pro outro lado:

underset(x -> p)(lim) f (x) = L

Fechou!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se f possui o valor constante f x = k , então l i m x → ∞ f x = k .
Utilize as definições formais para provar a afirmação lim x → 0 ⁡ 1 | x | =∞
Utilize as definições formais para provar a afirmação lim x → 3 ⁡ - 2 x - 3 2 =- ∞
Se f possui o valor constante f x = k , então l i m x → - ∞ f x = k .
Utilize as definições formais para provar a afirmação lim x → 0 ⁡ - 1 x 2 =- ∞