Enunciado

Os lados de um paralelogramo estão sobre as retas x + 2 y = 10 , 3 x - y = - 20 , x + 2 y = 15 e 3 x - y = - 10 . Ache as equações das diagonais se determinar os vértices do paralelogramo. (Sugestão: veja o Exercício 58 nos Exercícios 1.2.)

Passo 1

Para isso, vamos utilizar o conceito de combinação linear: quando w é uma combinação linear entre u e v, podemos escrever w em função de u e v como w = a ⋅ u + b ⋅ v , para quaisquer a ,   b ∈ R . Além disso, devemos lembrar que, para duas equações representarem a mesma reta, seus coeficientes devem ser proporcionais.

Passo 2

Como o sistema entre as duas primeiras retas dadas delimita um ponto, qualquer outra reta que passe por esse ponto deve satisfazer o sistema também, ou seja, sua equação é uma combinação linear das equações do sistema. Então, a equação da primeira diagonal é

a ⋅ x + 2 y - 10 + b ⋅ 3 x - y + 20 = 0

Chamando b a = k , para a ≠ 0 , temos:

x + 2 y - 10 + k ⋅ 3 x - y + 20 = 0

Agrupando as variáveis, ficamos com:

1 + 3 k ⋅ x + 2 - k ⋅ y - 10 + 20 k = 0

Passo 3

Mas como essa diagonal também passa pela interseção das duas últimas retas dadas, ela também pode ser escrita como

c ⋅ x + 2 y - 15 + d ⋅ 3 x - y + 10 = 0

Chamando d c = l , para c ≠ 0 , temos:

x + 2 y - 15 + l ⋅ 3 x - y + 10 = 0

Agrupando as variáveis, ficamos com:

1 + 3 l ⋅ x + 2 - l ⋅ y - 15 + 10 l = 0

Passo 4

Para que as duas equações representem a mesma reta, temos que ter

1 + 3 k 1 + 3 l = 2 - k 2 - l = 20 k - 10 10 l - 15

com l ≠ - 1 3 ,   2 ,     3 2 .

Na primeira equação,

2 - l + 6 k - 3 k ⋅ l = 2 - k + 6 l - 3 l ⋅ k

7 k = 7 l

k = l

O que significa que k ≠ - 1 3 ,   2 ,     3 2 também.

Passo 5

Reescrevendo o sistema

1 + 3 k 1 + 3 k = 2 - k 2 - k = 20 k - 10 10 k - 15

Então, temos que

20 k - 10 10 k - 15 = 1

20 k - 10 = 10 k - 15

10 k = - 5

k = - 1 2

Passo 6

Aplicando o resultado na equação do passo 2 (ou do passo 3, já que l = k ), temos que a equação de uma diagonal é

- 1 2 x + 5 2 y - 20 = 0

Passo 7

Para encontrar a equação da outra diagonal, fazemos o mesmo passo a passo, mas os sistemas serão:

x + 2 y = 10 3 x - y = - 10     e     x + 2 y = 15 3 x - y = - 20

As equações resultantes de cada sistema como foi feito nos passos 2 e 3 vão ficar:

1 + 3 p ⋅ x + 2 - p ⋅ y - 10 + 10 p = 0     e     1 + 3 q ⋅ x + 2 - q ⋅ y - 15 + 20 q = 0

O sistema do passo 4, ficará:

1 + 3 p 1 + 3 q = 2 - p 2 - q = 10 p - 10 20 q - 15

E a solução é análoga: p = q = 1 2 .

Resposta

- 1 2 x + 5 2 y - 20 = 0     e     5 2 x + 3 2 y - 5 = 0

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