Enunciado

Uma lata cilíndrica fechada deve ter uma área superficial de S unidades quadradas. Mostre que uma lata com volume máximo é obtida quando a altura for igual ao diâmetro da base.

Passo 1

Então pessoal, inicialmente o que devemos fazer é definir as variáveis do nosso problema, beleza? Temos que h é a altura da lata cilíndrica e r é o raio da base. A área de superfície de um cilindro circular reto (que é a geometria da nossa lata) é dada por:

S = 2 π r h + 2 π r 2

E o volume é dado pelo produto entre a área da base a altura. Como a área da base é uma circunferência, então:

V = π r 2 h

Isolando h na expressão de S , teremos:

h = S - 2 π r 2 2 π r

Substituindo em V , teremos:

V = π r 2 S - 2 π r 2 2 π r

V = S r - 2 π r 3 2

Fizemos isso para eliminar h do nosso problema, já que é uma outra variável, além de r !

Passo 2

Como queremos um volume máximo, então vamos utilizar as noções de cálculo, se liga:

d V d r = 1 2 S - 6 π r 2

Igualando nossa derivada a zero, teremos:

1 2 S - 6 π r 2 = 0

S = 6 π r 2

r = S 6 π

Mas como fazemos para saber se esse ponto crítico é um ponto de máximo? Basta encontrarmos a derivada segunda da nossa função e ver se a concavidade é para cima ou para baixo no ponto crítico em questão! Derivando nossa derivada:

d 2 V d r 2 = - 6 π r < 0

Como r é sempre positivo, então nossa derivada segunda sempre será negativa! Esse resultado implica em uma concavidade para baixo, ou seja, um ponto de máximo, que é o resultado esperado!

Passo 3

Isolando S no valor de r máximo que achamos, teremos:

S = 6 π r 2

Comparando com a expressão de S no passo 1:

6 π r 2 = 2 π r h + 2 π r 2

4 π r 2 = 2 π r h

h = 2 r

Que é exatamente o diâmetro da base do cilindro, como queríamos provar! E está aí nossa resolução, galera! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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