Enunciado

Uma lata cilíndrica fechada deve ter um volume de V unidades cúbicas. Mostre que uma lata com área superficial mínima é obtida quando a altura for igual ao diâmetro da base.

Passo 1

Então pessoal, de início o que devemos fazer é definir quais são as variáveis do nosso problema, tudo bem? Temos que h é a altura da lata cilíndrica, r é seu raio e V seu volume. A área de superfície de um cilindro circular reto (que é a geometria da nossa lata) é dada por:

S = 2 π r h + 2 π r 2

E o volume é dado pelo produto entre a área da base a altura. Como a área da base é uma circunferência, então:

V = π r 2 h

Isolando h , teremos:

h = V π r 2

Substituindo em S :

S = 2 π r V π r 2 + 2 π r 2 a

S = 2 V r + 2 π r 2

Fizemos isso para eliminar h do nosso problema, já que é uma outra variável, além de r !

Passo 2

Como queremos uma área de superfície mínima, então vamos utilizar as noções de cálculo que aprendemos! Derivando nossa função S , teremos:

d S d r = - 2 V r 2 + 4 π r

Igualando a zero:

- 2 V r 2 + 4 π r = 0

2 V r 2 = 4 π r

r 3 = 2 V 4 π

∴ r = V 2 π 3

Show, encontramos nosso ponto crítico! Mas como fazemos para saber se é um ponto de mínimo mesmo? Basta utilizarmos o teste da derivada segunda, saca só:

d 2 S d r 2 = 4 V r 3 + 4 π > 0

Como r e V sempre são positivos, então nossa derivada segunda sempre vai ser, o que indica uma concavidade para cima no gráfico e, portanto, um ponto de mínimo no r que encontramos! Show!

Passo 3

Sendo assim, como encontramos a dimensão de r para que S seja minimizada, então temos que h será:

V = 2 π r 3

Aqui isolamos V no r mínimo. Igualando com V do passo 1, teremos:

2 π r 3 = π r 2 h

h = 2 r

Que é exatamente o diâmetro da base do cilindro, como queríamos provar! Então está aí nossa demonstração, pessoal! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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