Enunciado

(a) Use um gráfico para estimar os valores máximo e mínimo absolutos da função com precisão de duas casas decimais.

(b) Use o cálculo para encontrar os valores máximo e mínimo exatos.

f x = e x + e - 2 x ,       0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

  1. Vamos ver pelo gráfico primeiro...
  2. Bom, pelo gráfico nós vemos que o valor mínimo da função nesse intervalo é 1,89 , localizado no ponto 0,23 ,   1,89 .   E o valor máximo se encontra no ponto da extremidade x = 1 , que resulta em 2,85 .

    Passo 2

  3. Vamos calcular agora do jeitinho tradicional...

Vamos derivar:

f ' x = e x + e - 2 x - 2

f ' x = e x - 2 e - 2 x

Vamos ver quando isso vai ser zero...

e x = 2 e - 2 x

Vamos reescrever pra tirar o negativo...

e x = 2 e 2 x

e 3 x = 2

Aplicamos logaritmo dos dois lados...

ln ⁡ ( e 3 x ) = ln ⁡ 2

3 x = ln ⁡ 2

x = ln ⁡ 2 3

Vamos testar então o valor da função nesse ponto e nos pontos do intervalo...

Passo 2

f 0 = e 0 + e - 2 0 = 1 + 1 = 2

  f ln ⁡ 2 3 = e ln ⁡ 2 ) 3 + e - 2 ln ⁡ 2 3 = 2 3 + 1 2 2 3 = 3 2 3 2

f 1 = e 1 + e - 2 1 = e + 1 e 2

Então, os valores máximos e mínimos exatos são:

3 2 3 2     e         e + 1 e 2

Resposta

  1. 1,89 e 2,85.
  2. 3 2 3 2     e e + 1 e 2
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