Enunciado

A lei de Boyle afirma que quando uma amostra de gás está sendo comprimida a uma temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação P V = C , onde C é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume é de 600   c m 3 , a pressão é 150   k P a e a pressão cresce a uma taxa de 20   k P a / m i n . A que taxa está decrescendo o volume nesse instante?

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema!

O enunciado nos dá a lei de Boyle para a compressão de gases a temperatura constante:

P V = C

Onde C é uma constante.

A partir dessa relação queremos obter a taxa de variação do volume V no momento que V = 600 c m 3 a pressão é P = 150 k P a e a variação de pressão é 20 k P a / m i n .

Tem ideia de como fazemos isso?

Quando uma questão fala que quer a taxa de variação, é porque ela quer a derivada de algo em um determinado instante...

Então para resolver esse problema, vamos derivar nos dois lados da lei de Boyle e tentar isolar a variação do volume em um lado da igualdade...

Saca só!

Passo 2

Se a lei de Boyle é dada por

P V = C

Derivando em relação ao tempos nos dois lados, temos

d P V d t = d C d t

No enunciado foi dito que P e V variam no tempo, então temos que trata-las como funções...

Como temos a derivada de um produto de funções, podemos aplicar a regra do produto

f x = g x · h x ,     f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Ou seja

d P d t · V + P · d V d t = d C d t

A derivada de uma constante é 0 , logo

d C d t = 0

Substituindo na equação...

d P d t · V + P · d V d t = 0

Nosso objetivo é determinar a variação de V no tempo, então vamos isolar d P d t em um lado da igualdade

d V d t = - d P d t · V P

Tranquilo até aqui?

Passo 3

No enunciado foi dado que a variação de P no momento é de 20 k P a / m i n , ou seja

d P d t = 20 k P a / m i n

O volume V e a pressão P são

V = 600 c m 3

P = 150 k P a

Substituindo em d V d t ...

d V d t = - d P d t · V P

d V d t = - 20 k · 600 150 k

d V d t = - 80 c m 3 / m i n

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

O volume varia a uma taxa de - 80 centímetros cúbicos por minuto.

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