Enunciado

Derive a função

h ( x ) = ln ( x + sqrt(x^2 - 1) )

Passo 1

Bom galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de primeira ordem da função:

h ( x ) = ln ( x + sqrt(x^2 - 1) )

Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, Regra da Potência e outras regras. Bora lá?

Passo 2

Começando pela regra da cadeia, temos que:

(d h)/(d x) = (d h)/(d u) (d u)/(d x)

Podemos dizer que:

u = x + sqrt(x^2 + 1)

h (u) = ln u

(d h)/(d x) = (d (ln u))/(d u) (d (x + sqrt(x^2 + 1)))/(d x)

Mas como derivamos u ?! Vamos ter que usar uma regra da cadeia dentro da regra da cadeiaa e além disso uma regra da soma!

(d (x + sqrt(x^2 + 1)))/(d x) = (d (x))/(d x) + (d ( sqrt(x^2 + 1) ))/(d x)

Na segunda parcela vamos precisar de uma nova regra da cadeia, para isso vamos dizer que:

v = x^2 + 1

u = sqrt(x^2 + 1) = sqrt(v) = v^((1)/(2))

(d ( sqrt(x^2 + 1) ))/(d x) = (d (v^(1 // 2)))/(d v) (d (x^2 + 1))/(d u)

Juntando tudo teremos:

(d h)/(d x) = (d (ln u))/(d u) ((d (x))/(d x) + (d (v^(1 // 2)))/(d v) (d (x^2 + 1))/(d u))

Passo 3

Agora é a hora de pormos a mão na massa e resolver:

(d h)/(d x) = (d (ln u))/(d u) ((d (x))/(d x) + (d (v^(1 // 2)))/(d v) (d (x^2 + 1))/(d u))

(d (ln u))/(d u) = (1)/(u) = (1)/(x + sqrt(x^2 + 1))

(d (x))/(d x) = 1

(d (v^(1 // 2)))/(d v) = (1)/(2 sqrt(v)) = (1)/(2 sqrt(x^2 + 1))

(d (x^2 + 1))/(d u) = 2 x

Então temos:

(d h)/(d x) = (1)/(x + sqrt(x^2 + 1)) (1 + (2 x)/(2 sqrt(x^2 + 1)))

Prontinhooo!

Resposta

h^' (x) = ((1)/(x + sqrt(x^2 - 1))) (1 + (2 x)/(2 sqrt(x^2 - 1)))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule y ' ' nos Exercícios 71-78.71. y = (1 + (1)/(x)) ³ ³
88. Suponha que as funções f e g e suas derivadas em relação a x tenham os seguintes valores em x = 0 e x = 1 .Determine as derivadas em relação a x das seguintes combinações usando o valor dado de x
Calcule y ' ' nos Exercícios 71-78.76. y = x^2 . ( x^3 - 1 )^5
87. Suponha que as funções f e g e suas derivadas em relação a x tenham os seguintes valores em x = 2 e x = 3 .Determine as derivadas das seguintes combinações em relação a x usando os valores dados d
88. Suponha que as funções f e g e suas derivadas em relação a x tenham os seguintes valores em x = 0 e x = 1 .Determine as derivadas em relação a x das seguintes combinações usando o valor dado de x