Enunciado

Um ponto P move-se sobre a parábola y = 3 x 2 - 2 x . Suponha que as coordenadas x t e y t de P são deriváveis e que d x d t ≠ 0 . Pergunta-se: em que ponto da parábola a velocidade da ordenada y de P é o triplo da velocidade da abscissa x de P ?

Passo 1

O que queremos, é o ponto P em que a velocidade da ordenada y de P é o triplo da velocidade da abscissa x de P , ou seja, as derivadas de y e x em relação a t devem satisfazer:

d y d t = 3 d x d t

Como y é uma função de x que por sua vez é uma função do tempo t , temos que derivar implicitamente, pela regra da cadeia, toda a função:

d y d t = 3 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ d x d t - 2 d x d t = 6 x d x d t - 2 d x d t

d y d t = 6 x - 2 d x d t

Passo 2

Então, para d y d t = 3 d x d t temos:

6 x - 2 d x d t = 3 d x d t

6 x - 2 = 3

6 x = 5

x = 5 6

Então, isso ocorre no ponto de abscissa x = 5 6 .

Resposta

Ocorre no ponto de abscissa x = 5 6 .

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