Enunciado

A Lei de Boyle diz que, quando uma amostra de gás é comprimida em uma pressão constante, a pressão P do gás é inversamente proporcional ao volume V do gás.

(a) Suponha que a pressão de uma amostra de ar que ocupa 0,106   m 3 a 25 ºC seja de 50 kPa. Escreva V como uma função de P.

(b) Calcule d V d P   quando P = 50   k P a . Qual o significado da derivada? Quais são suas unidades?

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos diz que pela Lei de Boyle quando temos uma compressão de gás a pressão constante a pressão do gás é inversamente proporcional ao seu volume:

P ∝ 1 V

Na letra (a) ele pede pra a gente escrever uma expressão pro volume em função da pressão levando em conta que V = 0,106   m 3 a 25 ° C   e P = 50   k P a . E na letra (b) devemos calcular d V d P para P = 50 k P a .

Bora lá?!

Passo 2

Dado que a pressão é inversamente proporcional o volume do gás, temos que:

P = k V

Onde k   é uma constante de proporcionalidade. Como V = 0,106 quando P = 50 , temos que k é:

k = P V

k = 50 0,106 = 5,3

Então, o volume pode ser escrito como:

V = 5,3 P

Passo 3

Agora vamos pra a letra (b). Vamos derivar V em função de P :

V = 5,3 P = 5,3 P - 1

Vamos usar a regra da potência:

f x = x n

f ' ( x ) = n x n - 1

Assim:

V ' P = - 5,3 P - 2 = - 5,3 P 2

Agora podemos calcular V ' ( 50 ) :

V ' 50 = - 5,3 50 2

V ' 50 = - 0,00212

Como o volume está em m 3 e a pressão está em k P a , a unidade desse é m 3 / k P a , então:

V ' 50 = - 0,00212   m 3 / k P a

O que a gente terminou de calcular é nada mais nada mesmo do que a taxa de variação instantânea do volume em função da pressão a 25 ° e 50 k P a . Nesse caso podemos entender que o volume decresce a uma taxa de - 0,00212   m 3 / k P a durante a compressão.

Resposta

  1. V = 5,3 P
  2. - 0,00212   m 3 / k P a
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