Enunciado

A equação de movimento de uma partícula é s = t 4 - 2 t 3 + t 2 - t , em que s   está em metros e t, em segundos.

(a) Encontre a velocidade e a aceleração como funções de t.

(b) Encontre a aceleração depois de 1 s.

(c) Trace o gráfico das funções de posição, velocidade e aceleração na mesma tela.

Passo 1

Opa! Vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá a equação de movimento de uma partícula em função do tempo:

s = t 4 - 2 t 3 + t 2 - t

Com s   está em metros e t, em segundos e nos pede:

  1. As equações da velocidade e aceleração em função do tempo, v ( t ) e a ( t ) ;
  2. A aceleração depois de 1 segundo, a ( 1 ) ;
  3. As curvas de s t ,   v t e a t .

Antes de qualquer coisa, vamos conversar um pouquinho! Sabemos que a velocidade é a variação do espaço percorrido pelo tempo. Então para um tempo beeem pequeninho, tendendo a zero temos:

v t = d s d t

Seguindo o mesmo raciocínio, temos que a aceleração é a variação da velocidade pelo tempo, portanto:

a t = d v d t = d 2 s d t

Precisamos então, para a letra (a), calcular a primeira e a segunda derivada de s ( t ) , para a letra b a gente só precisa pegar a função de a ( t ) e calcular a ( 1 ) e finalmente na letra c é só correr pro abraço plotando os gráficos!

Passo 2

Vamos calcular as derivadas:

s ( t ) = t 4 - 2 t 3 + t 2 - t

Temos uma função polinomial, então vamos usar a regra da potência que é:

f x = x n

f ' ( x ) = n x n - 1

Então:

d s d t = 4 t 4 - 1 - 2 3 t 3 - 1 + 2 t 2 - 1 - t 1 - 1

d s d t = 4 t 3 - 6 t 2 + 2 t - 1

Então a velocidade em função de t é dada por:

v t = 4 t 3 - 6 t 2 + 2 t - 1

Derivando de novo:

d 2 s d t = d v d t = 4 3 t 3 - 1 - 6 2 t 2 - 1 + 2 t 1 - 1  

d v d t = 12 t 2 - 12 t + 2

Chegamos na a aceleração em função de t :

a ( t ) = 12 t 2 - 12 t + 2

Passo 3

Pra achar a aceleração depois de 1 segundo, é só substituir na fórmula de a ( t ) :

a 1 = 12 1 2 - 12 1 + 2

a 1 = 12 - 12 + 2

a 1 = 2   m / s 2

Passo 4

Pra fechar, vamos aos gráficos de:

s t = t 4 - 2 t 3 + t 2 - t

v t = 4 t 3 - 6 t 2 + 2 t - 1

a ( t ) = 12 t 2 - 12 t + 2

Plotando temos:

Resposta

  1. v t = 4 t 3 - 6 t 2 + 2 t - 1                                   a t = 12 t 2 - 12 t + 2
  2. a 1 = 2   m / s 2
  3. Esboço do gráfico.
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