Enunciado

A lei de Boyle para a expansão de um gás é P V = C , onde P é o número de quilos por unidade quadrada de pressão, V é o número de unidades cúbicas do volume do gás e C é uma constante. Num certo instante, a pressão é de 150   k g / m 2 , o volume é 1,5   m 3 e está crescendo a uma taxa de 1   m 3 / m i n . Ache a taxa de variação da pressão nesse instante.

Passo 1

Taxas relacionadas pode parecer um pouco complicado, e as vezes é, pra ser sincero kkkk ;-; mas existe um passo a passo que pode nos ajudar muito pra resolver, confere ai:

1): ler bem o enunciado e anotar a informações necessárias.

2): fazer um lindo desenho para ilustrar o problema:

3): encontrar uma relação entre as variáveis, aqui vale tudo trigonometria, geometria, Pitágoras, Tales, lei dos senos, cossenos etc.

4): colocar toda a função em termos de uma única variável, aqui se aplica o mesmo que que no passo anterior, pode soltar a imaginação e a engenhosidade.

5): derivar a, manipular, substituir e zas e zas, aí você encontra a resposta.

Parece aqueles episódios do pateta tentando aprender alguma coisa kkk

Passo 2

Pra ser sincero com você eu não lembrava mais qual era a lei de Boyle, muito menos que é esse tal de Boyle, mas tudo que precisamos é da relação que a questão nós da, P V = C , em desconhecidas situações e em um dado instante a questão nos diz que:

P = 150   k g / m 2

V = 1,5   m 3

d V d t = 1   m 3 /   m i n

d P d t | p = 150 1,5 = ? Queremos saber a taxa de variação da pressão em relação ao tempo nesse dado instante.

Passo 3

Como aqui não tem como fazer um desenho vamos para o item 3), no nosso caso a relação entre valores já foi dada

V P = C

O que precisamos fazer é encontrar tal constante, para isso vamos substituir os valore de P e V informados no enunciado.

C = 1,5 ⋅ 150 = 225

Agora podemos colocar P em função de V já que é atrás da derivada de P que estamos interessados.

P = 225 V

Passo 4

Último passo gente bora derivar, lembrando que P e V estão em função de t   (tempo):

P = 225 V ⇒ d P d t = - 225 V 2 ⋅ d V d t

Substituindo os valores:

Aqui será interessante colocar 1,5 em fração pra facilitar as contas 1,5 = 3 2

d P d t = - 225 V 2 ⋅ d V d t = 225 3 2 2 ⋅ 1 = 4 ⋅ 225 9 = 100

Como as unidades estavam todas em kg/metros e minutos a resposta será dada com as mesmas unidades

Resposta

d P d t = 100   k g / m 2 p o r   m i n

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