Enunciado

Puxando um bote Um bote é puxado por uma corda, presa à proa, que passa por uma argola presa no cais a 6 pés acima da proa. A corda é puxada a uma taxa de 2 pés/s.

a. A que velocidade o barco se aproxima do cais quando 10 pés de corda foram puxados?

b. A que taxa o ângulo θ varia nesse instante (veja a figura)?

Passo 1

Considerações importantes para esse tipo de questão:

Distância em y do barco até a argola na beira do cais não varia = 6 pés =6 ftVelocidade de aproximação do barco até a beira do cais: d s d t = 2 f t s

Distancia s da corda que puxa o barco = 10 pés

Pode parecer mal escrito quando diz 10 pés de corda foram puxados. Mas imagina que a distância de corda diminui com o tempo pela argola, ela é responsável por rebocar o bote e nesse momento ela está puxando 10 pés de corda. Com isso fica até mais fácil ver que a velocidade é paralela a corda.

Passo 2

Com os dados oferecidos pela questão e com a figura podemos modelar nosso sistema.

s 2 = x 2 + 6 2

c o s   θ = 6 s

Para achar a variação do ângulo pode se usar tanto o seno, cosseno ou a tangente ou qualquer outra relação trigonométrica, utilizei o cosseno pois com ela o calculo fica mais direto.

O nosso triângulo retângulo é formado pelo cateto 6 e a hipotenusa 10, que é 2 vezes maior que o nosso tradicional triângulo 3,4,5. Logo o cateto que falta é o 8.

Nesse triangulo temos as relações trigonométricas:

s i n θ = 4 5   ; cos ⁡ θ = 3 5 ; t g θ = 4 3

Passo 3

Derivando no tempo nossas equações:

2 s d s d t = 2 x d x d t

Lembrando como se deriva divisões :

a b ' = a ' b - b ' a b 2        

No caso de uma fração com numerador constante podemos enxergar da seguinte forma:

1 a ' = a - 1 ' = - a - 2 d a d t  

- s i n θ d θ d t = - 6 s 2 d s d t

Substituindo os valores nas duas temos:

10 f t × 2 f t m i n = 8 f t × d x d t

d x d t = 2.5   f t m i n

Para encontrar a variação do ângulo temos então:

- 4 5 [ r a d ]   d θ d t =   - 6 f t 10 2 [ f t 2 ]   2 f t m i n

d θ d t = 0.15 r a d s

Resposta

d x d t = 2.5   f t m i n , aproximação

d θ d t = 0.15 r a d s , sentido anti-horário

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