Enunciado

Mudando as dimensões de um retângulo - O comprimento l de um retângulo diminui a uma taxa de 2 cm/s, enquanto a largura w aumenta a uma taxa de 2 cm/s. Determine as taxas de variação para (a) a área, (b) o perímetro e (c) os comprimentos das diagonais do retângulo quando l = 12 cm e w = 5 cm. Quais medidas estão diminuindo e quais estão aumentando?

Passo 1

Para fazer essa questão é importante que você entenda o que está sendo de certa forma desenhado para você na questão. Para isso iremos ilustrar o que está sendo feito na figura abaixo. Inicialmente temos o retângulo pontilhado azul e ele com ele agarramos um de nosso vértices e esticamos a sua largura e comprimimos seu comprimento até chegar na forma de como está o retângulo preto. Simples né?

Além de entender o que está sendo dito anotar as variáveis que estão sendo ditas na questão:

d l d t = - 2 c m s

d w d t = + 2 c m s

No momento em que a largura(l) e o comprimento(w) são iguais a 12 cm e 5 cm respectivamente.

Passo 2

Para a letra a, pede-se a variação da área, e a área pode ser escrita da seguinte forma:

A = w l

E sua variação no tempo pode ser escrita da seguinte forma:

d d t A = d d t ( w l )

Para derivar essa função precisamos derivar as variáveis separadamente, sendo uma regra da cadeia composta(aquele que precisa fazer a árvore).

Então ficamos com a equação abaixo:

d d t A = w d l d t + l d w d t

Substituindo os valores temos:

d d t A = 5 c m × - 2 c m s + 12 c m × 2 c m s = + 14   c m / s 2

Passo 3

Para a letra b temos pede-se a variação do perímetro e essa função tem a seguinte equação :

p = 2 w + 2 l

Fazendo-se a derivada no tempo tem-se:

d p d t = 2 d w d t + 2 d l d t

Substituindo os valores temos:

d p d t = 2 × 2 c m s + 2 × - 2 c m s = 0 c m s

Passo 4

Para a letra c pede-se a variação da diagonal do retângulo e ela pode ser dada pela seguinte equação:

s 2 = w 2 + l 2

Derivando-se no tempo temos:

2 s d s d t = 2 w d w d t + 2 l d l d t

Como s = w 2 + l 2 , podemos isolar a d s d t de forma a ficarmos com:

d s d t = 2 w d w d t + 2 l d l d t 2 w 2 + l 2

Poderia se derivar direto de s invés de s 2 o resultado é exatamente o mesmo. Agora substituindo os valores temos:

d s d t = 2 × 5 c m × 2 c m s + 2 × 12 c m × - 2 c m s   2 12 2 + 5 2   [ c m ] = - 14 13 c m s

Resposta

Então nossas respostas ficam:

  1. +14 c m 2 s , e está aumentando
  2. 0 c m s , e não está se alterando está constante( o que é fácil ver uma vez que aumentamos o comprimento na mesma taxa da largura, então realmente o cercado não se altera)
  3. - 14 13 c m s , e está diminuindo
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