Enunciado

A Lei do Paralelogramo afirma que

a + b 2 + a - b 2 = 2 a 2 + 2 b 2

  1. De uma interpretação geométrica para a Lei do Paralelogramo.
  2. Demonstre a Lei do Paralelogramo. [Sugestão: Use o fato de que a ± b 2 = a ± b ∙ ( a ± b ) e utilizr a Propriedade 3 do produto escalar].

Passo 1

a )

Bom, se isso é uma lei do PARALOLOGRAMO, tem a ver com paralelogramo. Então vamos pensar em a e b como lados de um paralelogramo.

Sabemos que o paralelogramo tem lados iguais e paralelos dois a dois. Então se pensarmos nesses lados como vetores para formar um poligno fechado, podemos dizer que se um lado é a seu paralelo é – a e se um lado é b , seu parabelo é - b .

Com isso, podemos também formar duas diagonais, que seriam dadas pelos vetores

a + b

a - b

Geometricamente temos:

A lei diz que a soma dos quadados dos tamanhos dos vetores das diagonais é igual a soma dos quadrados dos quatro lados do paralelogramo.

Passo 2

b )

Vamos começar usando a sugestão dele:

a + b 2 = a + b ∙ a + b = a ∙ a + a ∙ b + a ∙ b + b ∙ b = a 2 + 2 a ∙ b + b 2

Além disso,

a - b 2 = a - b ∙ a - b = a ∙ a - a ∙ b - a ∙ b + b ∙ b = a 2 - 2 a ∙ b + b 2

Somando as duas equações:

a + b 2 + a - b 2 = 2 a 2 + 2 b 2

Resposta

a )

A lei diz que a soma dos quadados dos tamanhos dos vetores das diagonais é igual a soma dos quadrados dos quatro lados do paralelogramo.

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