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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.2 - Ex. 12

Determine a derivada da função vetorial.

r t = 1 1 + t i + t 1 + t j + t 2 1 + t k

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Nos é dada a função vetorial:

r t = 1 1 + t i + t 1 + t j + t 2 1 + t k

O nosso objetivo é encontrar a derivada da função vetorial.

r ˙ t = d d t 1 1 + t i + d d t t 1 + t j + d d t t 2 1 + t k

Para fazer uma derivada de uma função vetorial, devemos derivar individualmente cada termo da sua função. No nosso caso, isso significa derivar os quocientes, sendo assim, deveremos utilizar a regra do quociente para derivadas:

d d t u v = v d u d t - u d v d t v 2

Passo 2

Vamos calcular cada componente separadamente para ficar bem claro.

A derivada da função 1 1 + t é conseguida através da regra do quociente.

d d t u v = v d u d t - u d v d t v 2

Assim, aplicando ao problema, temos:

d d t 1 1 + t = 1 + t d 1 d t - 1 d 1 + t   d t 1 + t 2

Resolvendo, temos:

d d t 1 1 + t = 1 + t 0 - 1 1 1 + t 2

Organizando:

d d t 1 1 + t = - 1 1 + t 2

Passo 3

Para a derivada de t 1 + t também temos que aplicar a regra do quociente.

d d t t 1 + t = 1 + t d t d t - t d 1 + t   d t 1 + t 2

Resolvendo, temos:

d d t t 1 + t = 1 + t 1 - t 1 1 + t 2

Simplificando após a distributiva:

d d t t 1 + t = 1 + t - t 1 + t 2

Temos então nossa derivada:

d d t t 1 + t = 1 1 + t 2

Passo 4

Para a derivada de t 2 1 + t também temos que aplicar a regra do quociente:

d d t   t 2 1 + t = 1 + t d t 2 d t - t 2 d 1 + t   d t 1 + t 2

Resolvendo, temos:

d d t   t 2 1 + t = 1 + t 2 t - t 2 1 1 + t 2

Simplificando após a distributiva:

d d t   t 2 1 + t = 2 t + 2 t 2 - t 2 1 + t 2

Simplificando:

d d t   t 2 1 + t = 2 t + t 2 1 + t 2

Portanto, a derivada da equação será:

r ˙ t = - 1 1 + t 2 i + 1 1 + t 2 j + 2 t + t 2 1 + t 2 k

Resposta

r ˙ t = - 1 1 + t 2 i + 1 1 + t 2 j + 2 t + t 2 1 + t 2 k

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