Enunciado

Determine o vetor tangente unitário T ( t ) no ponto com valor de parâmetro dado t .

r → t = t 2 - 2 t , 1 + 3 t , 1 3 t 3 + 1 2 t 2 ,   t = 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O nosso objetivo é encontrar o vetor tangente unitário T ( t ) no ponto com o valor fornecido do parâmetro t .

A definição do vetor tangente unitário é:

T t = r ' t r ' t

Passo 2

Vamos derivar r ( t ) com relação a t :

d d t r t = 2 t - 2 ,   3 , 3 t 2 3 + 2 t 2

d d t r t = 2 t - 2 ,   3 ,   t 2 + t

Agora vamos aplicar t = 2 :

r 2 = ( 2 ) 2 - 2 2 , 1 + 3 2 , 1 3 2 3 + 1 2 2 2

r 2 = 4 - 4 , 1 + 6 , 8 3 + 4 2

r 2 = 0 ,   7 , 14 3  

d d t r 2 = 2 2 - 2 ,   3 ,   2 2 + 2

r ' 2 = 2 ,   3 ,   6

Passo 3

O vetor tangente unitário no ponto 0 ,   7 , 14 3   é:

T 2 = r ' 2 r ' 2

T 2 = 2 ,   3 ,   6 2 2 + 3 2 + 6 2

T 2 = 2 ,   3 ,   6 49

T 2 = 2 7 , 3 7 , 6 7

Resposta

T 2 = 2 7 , 3 7 , 6 7

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