Enunciado

Lembre que c o s b t = e i b t + e - i b t 2 e que s e n b t = e i b t - e - i b t 2 i . Em cada um dos problemas de 11 a 14, encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais. Suponha que as fórmulas de integração elementares podem ser estendidas para esse caso.

11. f t = s e n b t

Passo 1

O seno pode ser escrito da seguinte maneira:

s e n b t = e i b t - e - i b t 2 i

Se aplicarmos a transformada, a gente fica com:

L s e n b t = L e i b t - e - i b t 2 i

Pela linearidade da transformada, a gente pode escrever assim:

L e i b t - e - i b t 2 i = 1 2 i L e i b t - 1 2 i L e - i b t

Pela tabela das transformadas, temos o seguinte resultado:

∫ 0 ∞ e - s t e a + i b t d t = 1 s - a - i b

E ele vai ser útil para a gente, já que nossas funções são exponenciais. Para a primeira, fica:

L e i b t = ∫ 0 ∞ e - s t e i b t d t = 1 s - i b

E a segunda:

L e - i b t = ∫ 0 ∞ e - s t e - i b t d t = 1 s + i b

Colocando tudo junto:

L s e n b t = 1 2 i 1 s - i b + 1 s + i b

Reescrevendo, fica o seguinte:

L s e n b t = b s 2 + b 2

Lembrando que esse resultado só é válido para s > 0 , e essa é a condição para resolver a integral da transformada.

Resposta

L s e n b t = b s 2 + b 2

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