Enunciado

(a) Lendo os valores do gráfico dado de f , utilize cinco retângulos para encontrar as estimativas inferior e superior para a área sob o gráfico dado de f de x = 0 até x = 10 . Em cada caso, esboce os retângulos que você usar.

b) Encontre novas estimativas, usando dez retângulos em cada caso.

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema temos uma curva dada por

Nosso objetivo é estimar a area abaixo da curva utilizando estimativas superiores e inferiores para a) 5 retângulos e b) 10 retângulos.

Tem ideia de como fazemos isso?

Para fazer essas estimativas, dividimos nossa região em retângulos e somamos cada area de retângulo.

Veja só!

Passo 2

  1. Primeiro encontraremos a estimativa inferior, que podemos visualizar no seguinte gráfico:
  2. Como f está crescendo, podemos obter essa estimativa inferior usando as extremidades esquerdas. Nós precisamos usar 5 retângulos, então nosso n = 5 , logo:

    L 5 = ∑ i = 1 5 f ( x i - 1 ) ∆ x

    Nosso ∆ x é:

    ∆ x = b - a n = 10 - 0 5 = 2

    Logo, L 5 é:

    L 5 = f x 0 * 2 + f x 1 * 2 + f x 2 * 2 + f x 3 * 2 + f x 4 * 2

    L 5 = 2 f 0 + f 2 + f 4 + f 6 + f 8

    L 5 ≈ 2 1 + 3 + 4,3 + 5,4 + 6,3

    L 5 = 2 20

    L 5 = 40

    Tranquilo até aqui?

    Passo 3

    1. Agora, encontraremos as estimativas superiores, cujo esboço é o seguinte gráfico:
    2. Com f crescendo, podemos usar as extremidades direitas, então:

      R 5 = ∑ i = 1 5 f x i ∆ x

      R 5 = 2 f x 1 + f x 2 + f x 3 + f x 4 + f x 5

      R 5 = 2 [ f 2 + f 4 + f 6 + f 8 + f 10

      R 5 = 2 26

      R 5 = 52

      Comparando R 5 com L 5 , vemos que nós adicionamos a área acima do retângulo mais à direita, f 10 * 2 , e subtraímos a área abaixo do triângulo mais à esquerda, f 0 * 2 .

      Show?

      Passo 4

    3. Agora faremos a mesma coisa utilizando n = 10 .

    Fazendo primeiro a estimativa inferior, temos que:

    L 10 = ∑ i = 1 10 f ( x i - 1 ) ∆ x

    ∆ x = 10 - 0 10 = 1

    L 10 = 1 f x 0 + f x 1 + … + f x 9 = f 0 + f 1 + … + f 9

    L 10 ≈ 1 + 2,1 + 3 + 3,7 + 4,3 + 4,9 + 5,4 + 5,8 + 6,3 + 6,7

    L 10 = 43,2

    Encontramos os valores de f ( x i ) pelo seguinte gráfico esboçado com as estimativas inferiores:

    Bacana, não é?

    Passo 5

  3. Agora para as estivas inferiores temos o gráfico seguinte:

R 10 = ∑ i = 1 10 f x i ∆ x

R 10 = L 10 + f 10 * 1 - f 0 * 1 = 43,2 + 7 - 1 = 49,2

O que fizemos acima foi a comparação feita no passo 2, somamos o retângulo mais à direita, que não é utilizando em L 10 , e subtraímos o retângulo mais à esquerda, que é utilizando em L 10 mas não em R 10 .

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

  1. L 5 = 40 e R 5 = 52
  2. L 10 = 43,2 e R 10 = 49,2
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