Enunciado

Lendo os valores do gráfico dado de f , utilize quatro retângulos para encontrar as estimativas inferior e superior para a área sob o gráfico dado de f de x = 0 ate x = 8 . Em cada caso, esboce os retângulos que você usar.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar as estimativas inferior e superior para a área sob o gráfico de f no intervalo de x = 0 até x = 8 , utilizando 4 retângulos.

Pra isso, vamos relembrar que as estimativas superiores e inferiores, em um intervalo a , b ,   são obtidas através da soma:

S   = ∑ i = o n   f x i Δ x

Onde i = 0 ,   ⋯ , n   e Δ x = b - a n .

Como já foi dado o intervalo, temos que a = 0 e b = 8 . E como f é crescente podemos obter uma estimativa inferior usando os pontos da esquerda e os pontos interiores da direita para obter a estimativa superior.

Nós fomos instruídos a usar 4 retângulos, então n = 4   e como Δ x = b - a n , temos que:

Δ x = 8 - 0 4 = 2  

Então, vamos escolher alguns pontos no gráfico e usar a fórmula para obter as estimativas de áreas através da soma dos retângulos.

Vamos lá!

Passo 2

Usando a fórmula, com Δ x = 2 , temos:

I = ∑ i = o 4   f x i Δ x = f x 0 ⋅ 2 + f x 1 ⋅ 2 + f x 3 ⋅ 2 + f x 4 . 2    

=     2 f x 0 + f x 1 + f x 3 + f x 4

Então, escolhendo alguns pontos do gráfico para fazer uma estimativa inferior, temos:

2   f 0 + f 2 + f 4 + f 6

Desenhando esses retângulos abaixo da curva no gráfico, olha só como fica:

Daí, nós conseguimos extrais os valores de f ( x ) para cada x escolhido:

2   f 0 + f 2 + f 4 + f 6 = 2 2 + 3,75 + 5 + 5,75

Fazendo essa soma, obtemos:

I = 33

Passo 3

Vamos fazer uma estimativa superior agora. Vamos usar os pontos interiores da direita.

Então, substituindo na fórmula, temos:

S = ∑ i = o 4   f x i Δ x = f x 0 ⋅ 2 + f x 1 ⋅ 2 + f x 3 ⋅ 2 + 2 . f x 4

=   2   f 2 + f 4 + f 6 + f 8

Agora nossos retângulos ultrapassam a curva, olha só:

Então, extraindo os valores de f ( x ) em cada ponto, temos:

2   3,75 + 5 + 5,75 + 6

E calculando, obtemos a estimativa superior:

S = 41

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S o m a   s u p e r i o r   S = 41

  S o m a   i n f e r i o r     I = 33

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