Enunciado

Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série p com p = 2 :

ζ x = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

Utilize esse fato para encontrar a soma de cada série.

b) ∑ n = 3 ∞ 1 ( n + 1 ) ²

Passo 1

Então galera, a série que nos foi dada pode ser reescrita da seguinte forma:

∑ n = 3 ∞ 1 ( n + 1 ) ² = ∑ n = 4 ∞ 1 n ²

No entanto, nós não conhecemos o resultado da série quando se inicia com n = 4 , apenas com n = 1 . Dessa forma, para escrevermos-a com n = 1 basta retirarmos substraírmos os valores da série para n = 3 ,   2   e   1 , não é mesmo? Em outras palavras:

∑ n = 4 ∞ 1 n 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 - 1 3 2 - 1 2 2 - 1 1 2

∴ ∑ n = 3 ∞ 1 ( n + 1 ) ² = π 2 6 - 49 36

Resposta

∑ n = 3 ∞ 1 ( n + 1 ) ² = π 2 6 - 49 36

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