Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.3 - Ex. 19
Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?
Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?
Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral da série e associá-lo a uma função . Nesse nosso caso, ficamos com:
Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio .
De maneira prática, é só olhar para o termo geral e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que
então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.
Passo 2
Essa nossa função é dividido por . Ela começa em (primeiro termo da soma), então temos que
Se olharmos alguns pontos, temos o seguinte
Ou seja, a função cresce mais rápido que , então é uma função decrescente. Pra mostrar isso podemos calcular a derivada dessa função:
E vemos que essa função é decrescente quando , ou seja,
Lembrando que , a função é decrescente a partir desse valor. É decrescente e daí aplicamos o teste da integral.
Passo 3
Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:
Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes com e :
Retornando à nossa integral imprória, temos:
Passo 4
Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!
Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!
Resposta
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