Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

sum_(n = 1)^(oo) (ln n)/(n^3)

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a_n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a_n = (ln n)/(n^3) harr f (x) = (ln x)/(x^3)

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 2 , oo ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a_n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

underset(n -> oo)(lim) a_n != 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 2

Essa nossa função é ln x dividido por x^3 . Ela começa em x = 1 (primeiro termo da soma), então temos que

f (1) = (ln (1))/(1^3) = 0

Se olharmos alguns pontos, temos o seguinte

f (2) = (ln 2)/(2^3) = (ln 2)/(8)

f (3) = (ln 3)/(3^3) = (ln 3)/(27)

Ou seja, a função x^3 cresce mais rápido que ln x , então ln x // x^3 é uma função decrescente. Pra mostrar isso podemos calcular a derivada dessa função:

f^' (x) = ((ln (x))/(x^3))^' = ((1)/(x) x^3 - ln x (3 x^2))/(x^6) = (1 - 3 ln x)/(x^4)

E vemos que essa função é decrescente quando f^' (x) < 0 , ou seja,

1 - 3 ln (x) < 0 -> ln x > (1)/(3) -> x > e^((1)/(3))

Lembrando que e^((1)/(3)) tildetilde 1,4 , a função é decrescente a partir desse valor. É decrescente [ 2 , oo ) e daí aplicamos o teste da integral.

Passo 3

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

int_2^(oo) f ( x ) d x = int_2^(oo) (ln x)/(x^3) d x = underset(t -> oo)(lim) int_2^t (ln x)/(x^3) d x

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes com u = ln x e d v = (d x)/(x^3) :

int underset(u)(ubrace ln x) * underset(d v)(ubrace (d x)/(x^3)) = underset(u)(ubrace ln x) * underset(v)(ubrace (- (1)/(2 x^2))) - int underset(v)(ubrace (- (1)/(2 x^2))) underset(d u)(ubrace (d x)/(x)) = (ln x)/(2 x^2) + int (d x)/(2 x^3) = - (ln x)/(2 x^2) - (1)/(4 x^2)

Retornando à nossa integral imprória, temos:

underset(t -> oo)(lim) int_2^t (ln x)/(x^3) d x = underset(t -> oo)(lim) [- (ln x)/(2 x^2) - (1)/(4 x^2)]_2^t = underset(t -> oo)(lim) [(- (ln t)/(2 t^2) - (1)/(4 t^2)) + (1)/(4)] = (1)/(4)

Passo 4

Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (ln n)/(n^3) é convergente

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