Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

sum_(n = 3)^(oo) (n^2)/(e^n)

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a_n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a_n = (n^2)/(e^n) harr f (x) = (x^2)/(e^x)

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 3 , oo ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a_n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

underset(n -> oo)(lim) a_n != 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 2

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

int_3^(oo) f ( x ) d x = int_3^(oo) (x^2)/(e^x) d x = underset(t -> oo)(lim) int_3^t (x^2)/(e^x) d x

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes com u = x^2 e d v = e^(- x) d x :

int underset(u)(ubrace x^2) underset(d v)(ubrace e^(- x) d x) = underset(u)(ubrace x^2) * underset(v)(ubrace (- e^(- x))) - int underset(v)(ubrace (- e^(- x))) underset(d u)(ubrace 2 x d x) = x^2 * (- e^(- x)) + 2 underset(I n t e g r a ç ã o p o r p a r t e s)(ubrace int x e^(- x) d x)

int x^2 e^(- x) d x = x^2 * (- e^(- x)) + 2 int x e^(- x) d x = x^2 * (- e^(- x)) + 2 [x (- e^(- x)) - int e^(- x) d x]

int x^2 e^(- x) d x = (- e^(- x)) * (x^2 + 2 x + 2)

Retornando à nossa integral imprória, temos:

underset(t -> oo)(lim) int_3^t (x^2)/(e^x) d x = underset(t -> oo)(lim) [(- e^(- x)) * (x^2 + 2 x + 2)]_1^t = underset(t -> oo)(lim) ((- e^(- t)) * (t^2 + 2 t + 2) + (17)/(e^3)) = (17)/(e^3)

Passo 3

Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (n^2)/(e^n) é convergente

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