Enunciado

underset(t -> 0^+)(lim) (t - ln ( 1 + 2 t ))/(t^2)

Passo 1

Antes de partir para resolução, vale ressaltar que t -> 0^+ significa que t tende a zero pela direita, ou seja t assume valores positivos tendendo a zero.

Substituindo t = 0^+ , no numerador e no denominador, respectivamente, temos:

  • 0 - ln (1 + 2 * 0) = 0
  • 0^2 = 0

Portanto, podemos utilizar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Lembrando que:

Seja f (x) = ln g (x) -> f^' (x) = (1)/(g ( x )) * g^' ( x )

Aplicando a regra de l’Hôpital, temos:

underset(t -> 0^+)(lim) (t - ln ( 1 + 2 t ))/(t^2) = underset(t -> 0^+)(lim) (1 - (1)/(1 + 2 t) * 2)/(2 t) = underset(t -> 0^+)(lim) (1 - (2)/(1 + 2 * 0))/(2 t) = underset(t -> 0^+)(lim) (- 1)/(2 t)

Passo 3

Chegamos num limite em que temos o valor constante - (1)/(2) multiplicando o termo (1)/(t) . Portanto, a constante pode sair do limite e, então, temos:

(- 1)/(2) * underset(t -> 0^+)(lim) (1)/(t)

Analisando agora o limite de (1)/(t) quando t tende a zero pela direita, podemos afirmar que o limite é + oo , pois teríamos um denominador muito pequeno e positivo!

Porém, ainda temos a constante - (1)/(2) .

Infinito dividido por 2 ainda é infinito.

Infinito multiplicado por -1 , é - oo .

Portanto,

(- 1)/(2) * underset(t -> 0^+)(lim) (1)/(t) = - oo

Resposta

underset(t -> 0^+)(lim) (t - ln ( 1 + 2 t ))/(t^2) = - oo

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