Enunciado

A soma de dois números não negativos é 20. Diga quais serão esses números

  1. Se a soma de um número com a raiz quadrada do outro tiver que ser a maior possível.

Passo 1

Nomeando os dois números de x e y , temos que a soma é:

x + y = 20

Passo 2

Nomeando S sendo a soma mencionada, temos que sem perda de generalidade:

S = x + y

Passo 3

Do passo 1, isolaremos uma das variáveis da equação e substituíremos na equação do passo 2. Sem perda de generalidade, isolaremos a variável x .

x = 20 - y

Logo,

S = x + y = 20 - y + y

Passo 4

Agora, como temos P   em função apenas da variável y , iremos encontrar o valor máximo de P . Primeiramente derivamos a equação em função de y :

d S d y = d 20 - y d y +   d y d y

d S d y = - 1 + 1 2 y = - 2 y + 1 2 y = 1 - 2 y 2 y

Passo 5

Para encontrarmos o valor de   y de forma maximizar S , basta fazer d S d y = 0

d S d y = 1 - 2 y 2 y = 0  

y = 1 4

Passo 6

Usando novamente a equação do passo 1, temos o valor de x :

x + y = 20

x + 1 4 = 20

x = 7 9 4

Resposta

Os números são:

1 4   e   7 9 4

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