Enunciado

Calcule o limite, se existir.

underset(h -> 0)(lim) (sqrt(9 + h) - 3)/(h)

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão quer que a gente calcule o seguinte limite:

L = underset(h -> 0)(lim) (sqrt(9 + h) - 3)/(h)

Em outras palavras, temos que dizer se o limite existe (isto é, quando ele tende a um número real) ou não (quando diverge).

Para isso, devemos fazer algumas manipulações algébricas para tentar “jogar fora” a possível indeterminação.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Nosso limite é o seguinte:

L = underset(h -> 0)(lim) (sqrt(9 + h) - 3)/(h)

A primeira coisa que podemos tentar é fazermos h = 0 , vamos ver o que acontece.

L = (3 - 3)/(0) = (0)/(0)

Opaa, deu uma indeterminação!! Então vamos ter que dar uma mexida pra arrumar isso.

Passo 3

Como temos o termo sqrt(9 + h) - 3 , é uma boa ideia multiplicarmos por sqrt(9 + h) + 3 para aparecer a seguinte fatoração:

(a - b) (a + b) = a^2 - b^2

Então vamos lá!

(sqrt(9 + h) - 3)/(h) = (sqrt(9 + h) - 3)/(h) * (sqrt(9 + h) + 3)/(sqrt(9 + h) + 3) :.

(sqrt(9 + h) - 3)/(h) = ((9 + h) - 3^2)/(h * (sqrt(9 + h) + 3)) :.

(sqrt(9 + h) - 3)/(h) = (h)/(h * (sqrt(9 + h) + 3)) :.

(sqrt(9 + h) - 3)/(h) = (1)/((sqrt(9 + h) + 3))

Passo 4

Agora é só voltarmos e fazermos o limite, olha só:

L = underset(h -> 0)(lim) (1)/((sqrt(9 + h) + 3))

Trocando h por 0 , temos:

L = (1)/((sqrt(9) + 3)) = (1)/(6)

Resposta

underset(h -> 0)(lim) (sqrt(9 + h) - 3)/(h) = (1)/(6)

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