lim x → π 2 ⁡ 1 - sin ⁡ x 1 2 π - x

(Sugestão: seja t = pi / 2 - x )

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos substituir π 2 - x por t como sugerido no enunciado e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

t = π 2 - x

x → π 2 ⇒ t → 0

lim t → 0 ⁡ 1 - sin ⁡ π 2 - t t

Passo 2

Agora vamos usar a propriedade de arco complementar cos ⁡ t = sin ⁡ π 2 - t .

lim t → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ t t

Passo 3

Agora vamos multiplicar e dividir o limite pelo conjugado de 1 - cos ⁡ t .

lim t → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ t t   ∙ 1 +   cos ⁡ t 1 +   cos ⁡ t

lim t → 0 ⁡ 1 2 - cos 2 ⁡ t t 1 +   cos ⁡ t  

Passo 4

Agora apliquemos a identidade fundamental da trigonometria no limite.

sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

sin 2 ⁡ t = 1 - cos 2 ⁡ t

lim t → 0 ⁡ sin 2 ⁡ t t 1 +   cos ⁡ t

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ t t lim t → 0 ⁡ sin ⁡ t 1 +   cos ⁡ t

Passo 5

Por fim utilizaremos do limite fundamental lim t → 0 ⁡ sin ⁡ t t = 1 .

1 sin ⁡ 0 1 +   cos ⁡ ( 0 )

1 0 1 +   1

0

Resposta

lim x → π 2 ⁡ 1 - sin ⁡ x 1 2 π - x = 0

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