Determine o campo vetorial gradiente de f .

f(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 1

Galera, lá da teoria a gente sabe que o campo vetorial gradiente de f será o seguinte:

∇ f = ∂ f ∂ x   i + ∂ f ∂ y   j + ∂ f ∂ z   k

Então, é só calcular as derivadas parciais de f .

Passo 2

f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 2

Para f x , temos:

∂ f ∂ x = 1 2 ⋅ 1 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ ( 2 x )

Assim,

∂ f ∂ x = x x 2 + y 2 + z 2

Repare que para os outros vai ficar bem parecido, olha como fica o f y :

∂ f ∂ y = 1 2 ⋅ 1 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ ( 2 y )

Simplificando,

∂ f ∂ y = y x 2 + y 2 + z 2

Por fim, vamos ver o f z :

∂ f ∂ z = 1 2 ⋅ 1 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ ( 2 z )

Logo,

∂ f ∂ z = z x 2 + y 2 + z 2

Passo 3

Do Passo 1, temos:

∇ f = ∂ f ∂ x   i + ∂ f ∂ y   j + ∂ f ∂ z   k

Substituindo com o que acharmos no Passo 2:

∇ f = x x 2 + y 2 + z 2   i + y x 2 + y 2 + z 2   j + z x 2 + y 2 + z 2   k

Resposta

∇ f = x x 2 + y 2 + z 2   i + y x 2 + y 2 + z 2   j + z x 2 + y 2 + z 2   k

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