Enunciado

20 . A c h e f^((4)) (x) s e f (x) = (2)/(x - 1)

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 4 precisamos ter em mente duas coisas:

1 -Teremos que fazer 4 derivadas. Uma da função dada e três das que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 - Derivaremos as funções usando a regra do quociente.

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

f^' (x) = ((2)^' * ( x - 1 ) - 2 * ( x - 1 ) ')/(( x - 1 )^2)

= (- 2 * 1)/(( x - 1 )^2)

= (- 2)/(( x - 1 )^2)

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 para derivar.

f^(' ' (x)) = ((- 2)^' * ( x - 1 ) ² - ( - 2 ) * ( ( x - 1 ) ² ) ')/(( x - 1 )^4)

= (2 * 2 (x - 1) * 1)/(( x - 1 )^4)

= (4)/(( x - 1 )^3)

Passo 4

3ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 3 para derivar.

f^(' ' ') ( x ) = ((4)^' * ( x - 1 ) ³ - 4 * ( ( x - 1 ) ³ ) ')/(( x - 1 )^6)

= (- 4 * 3 (x - 1) ² * 1)/(( x - 1 )^6)

= (- 12)/(( x - 1 )^4)

Passo 5

4ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 4 para derivar.

f^((4)) (x) = ((- 12)^' * (x - 1)^4 - ( - 12 ) * ( ( x - 1 )^4 ) ')/(( x - 1 )^8)

= (12 * 4 (x - 1) ³ * 1)/(( x - 1 )^8)

= (48)/(( x - 1 )^5)

Passo 6

Prontinho, fizemos as quatro derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 4 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

Resposta

f^((4)) (x) = (48)/(( x - 1 )^5)

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