Enunciado

Derive a função

f ( y ) = y ln ⁡ ( 1 + e y )

Passo 1

Bom galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de primeira ordem da função apresentada em relação a y . Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, Regra do Produto e outras regras.

Passo 2

Iremos derivar f ( y ) em relação a y . Veja que f ( y ) é composta por uma função l n que possui em seu argumento outra função   ( 1 + e y ) . Dessa forma, deveremos utilizar a regra da cadeia e após derivar f ( y ) , iremos derivar a função que se encontra dentro da função l n e multiplicar as derivadas. Além disso, f ( y ) é composta pelo produto de duas funções diferentes   ( y   e   ln ⁡ 1 + e y ) . Assim, devemos utilizar a regra do produto, que ocorre da seguinte maneira

f y g y ' = f ' y g y + g ' y f ( y )

Passo 3

Derivando f ( y ) , temos

f ' y = ( 1 ) ln ⁡ ( 1 + e y ) + y 1 1 + e y e y

Veja que, pela regra do produto, temos a função sendo multiplicada do lado de fora dos parênteses. Dentro dos parênteses, temos a derivada das funções de f ( x ) . No segundo termo da soma, temos e y multiplicando a derivada, que é o resultado da derivada de 1 + e y e aparece pela regra da cadeia.

Resposta

f ' y = ln ⁡ ( 1 + e y ) + y e y 1 + e y

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