Enunciado

20. int (a x^2 + b x + c) d x

Passo 1

A parte mais importante desse exercício é entender o que é variável e o que é constante nessa integral. Para esse caso nossa variável é o “x” portanto, todas as outras letras que aparecem são constantes. A partir dessa análise podemos pular aos próximos passos.

Passo 2

Para essa integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ int ( a x^2 ) d x ] + [ int ( b x ) d x ] + [ int ( c ) d x ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 3

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: int ( a x ) d x = a int (x) d x .

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = [ a int ( x^2 ) d x ] + [ b int (x) d x ] - [ c int (1) d x ]

Passo 4

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = int ( x^n ) d x = (x)/(n + 1)^(n + 1) + c

Onde “n” é o expoente da variável.

Quando estamos resolvendo a integral proposta, percebemos que aparece uma integral de uma constante, podemos resolver essa integral da seguinte forma:

I = c int (1) d x

I = c int (x^0) d x

Sabendo que qualquer valor elevado ao expoente zero(0) é igual a um (1) então podemos escrever a integral acima da seguinte forma.

I = c int ( x^0 ) d x = c (x^(0 + 1)) = c x

Tendo agora a base teórica necessário, passamos ao próximo passo.

Passo 5

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = int ( x^n ) d x = (x)/(n + 1)^(n + 1) + c

Onde “n” é o expoente da variável.

Passo 6

Agora que temos nossa integral preparada e sabemos o método para integrar uma função polinomial podemos desenvolve-la.

I = [ a int (x^2) d x ] + [ int (x) d x ] + [ c int (1) d x ]

I = [a ((x)/(2 + 1)^(2 + 1))] + [b ((x^(1 + 1))/(1 + 1))] + c x + k

I = a ((x)/(3)^3) + b ((x^2)/(2)) + c x + k

Nesse caso, k é a contante que aparece ao integrarmos.

OBS: Não se esqueçam de colocar o resultado da integral somado a uma constante, é ela que vai diferenciar sua função de uma infinidade de outras que são paralelas a ela.

Resposta

Chegamos então a nossa resposta final:

I = (a x^3)/(3) + (b x^2)/(2) + c x + k

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