28. ∫ ( 27 t 3 - 1 t 3 ) d t

Passo 1

Para integral proposta temos que primeiramente perceber que são três somas com o mesmo denominador, dessa forma podemos escrever a integral da seguinte maneira:

I = ∫ 27 t 3 t 3 - 1 t 3 d t

Passo 2

Vamos recordar da propriedade da radiciação que nos diz que uma raiz pode ser escrita em forma de potência. Aplicando essa propriedade encontramos a seguinte integral:

I = ∫ 27 t 3 t 1 3 - 1 t 1 3 d t

Passo 3

Para conseguir prosseguir, precisamos lembrar da propriedade da potenciação e aplica-la a segunda parte da integral

1 t n = t - n

Agora verificamos que a integral tem uma forma bem mais simples do que a inicial:

I = ∫ [ 27 t 3 t - 1 3 - ( t - 1 3 ) ] d t

I = ∫ [ 27 t 8 3 - t - 1 3 ] d t  

Passo 4

Para resolução desta integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ ∫ ( 27 t 8 3 ) d t ] - [ ∫ t -   1 3 d t ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 5

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = ∫ ( t ) d t =   t n + 1 n + 1 + c      

Onde “n” é o expoente da variável.

Agora que temos toda base teórica, vamos ao trabalho!!

I = [ ∫ ( 27 t 8 3 ) d t ] - [ ∫ t -   1 3 d t ]

I = 27 t 8 3 + 1 8 3 + 1 - t - 1 3 + 1 - 1 3 + 1 + c

I = 27 t 11 3 11 3 - t 2 3 2 3 + c

OBS: Não se esqueçam de colocar o resultado da integral somado a uma constante, é ela que vai diferenciar sua função de uma infinidade de outras que são paralelas a ela.

Resposta

Resposta final:

I = 81 t 11 3 11 - 3 t 2 3 2 + c

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