∫ 6 x 2 - 2 x - 1 4 x 3 - x d x

Passo 1

Primeiro vemos que as raízes do denominador são 0, 1 2   e - 1 2 , logo podemos reescrever a equação de forma mais fácil para resolver o problema.

∫ 6 x 2 - 2 x - 1 x ( x - 1 2 ) ( x + 1 2 ) d x

Para x diferente de 0, 1 2   e - 1 2 .

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

6 x 2 - 2 x - 1 x ( x - 1 2 ) ( x + 1 2 ) = A x + B ( x - 1 2 ) + C ( x + 1 2 )

Isolando 6 x 2 - 2 x - 1 , vamos achar

6 x 2 - 2 x - 1 = A x - 1 2 x + 1 2 + B x x + 1 2 + C x ( x - 1 2 )

Vemos que agora os valores 0, 1 2   e - 1 2 fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B e C.

A = 4 ;                     B = - 1 ;                   C = 3

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

6 x 2 - 2 x - 1 x ( x - 1 2 ) ( x + 1 2 ) = 4 x - 1 ( x - 1 2 ) + 3 ( x + 1 2 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ 6 x 2 - 2 x - 1 x ( x - 1 2 ) ( x + 1 2 ) d x = ∫ 4 x d x - ∫ 1 x - 1 2 d x + ∫ 3 ( x + 1 2 ) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ 6 x 2 - 2 x - 1 x ( x - 1 2 ) ( x + 1 2 ) d x = ln ⁡ x + l n | x - 1 2 | 4 - l n | x + 1 2 | 4

Resposta

∫ 6 x 2 - 2 x - 1 4 x 3 - x d x = ln ⁡ x + l n | x - 1 2 | 4 - l n | x + 1 2 | 4 + c

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