∫ 1 ( t + 1 ) ( t + 2 ) 2 d t

Passo 1

Primeiro vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

∫ 1 ( t + 1 ) ( t + 2 ) 2 d t

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

1 ( t + 1 ) ( t + 2 ) 2 = A ( t + 2 ) 2 + B ( t + 2 ) + C ( t + 1 )

Isolando   1 , vamos achar

1 = A t + 1 + B ( t + 1 ) ( t + 2 ) + C ( t + 2 ) 2

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = - 1 ;                     B = - 1 ;                   C = 1

Agora substituindo os valores de A, B e C, temos:

1 ( t + 1 ) ( t + 2 ) 2 = - 1 ( t + 2 ) 2 - 1 ( t + 2 ) + 1 ( t + 1 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ 1 ( t + 1 ) ( t + 2 ) 2 d t = - ∫ 1 ( t + 2 ) 2 d t - ∫ 1 t + 2 d t + ∫ 1 ( t + 1 ) d t

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ 1 ( t + 1 ) ( t + 2 ) 2 d t = 1 t + 2 + ln ⁡ | - t - 1 | - ln ⁡ t + 2

Resposta

∫ 1 ( t + 1 ) ( t + 2 ) 2 d t = 1 t + 2 + ln ⁡ | - t - 1 | - ln ⁡ t + 2 + c

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