∫ 3 z + 1 ( z 2 - 4 ) d z

Passo 1

Primeiro vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

∫ 3 z + 1 ( z - 2 ) ( z + 2 ) d z

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

3 z + 1 ( z - 2 ) ( z + 2 ) = A ( z - 2 ) + B ( z + 2 )

Isolando   3 z + 1 , vamos achar

3 z + 1 = A ( z + 2 ) + B ( z - 2 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 7 4 ;                     B = 5 4 ;

Agora substituindo os valores de A, B e C, temos:

3 z + 1 ( z - 2 ) ( z + 2 ) = 7 4 ( z - 2 ) + 5 4 ( z + 2 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ 3 z + 1 ( z - 2 ) ( z + 2 ) d z = ∫ 7 4 ( z - 2 ) d z + ∫ 5 4 ( z + 2 ) d z

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ 3 z + 1 ( z - 2 ) ( z + 2 ) d z = 7 4 ln ⁡ | z - 2 | + 5 4 ln ⁡ z + 2

Resposta

∫ 3 z + 1 ( z 2 - 4 ) d z = 7 4 ln ⁡ | z - 2 | + 5 4 ln ⁡ z + 2 + c

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