Verificar a fórmula ∫ d u a 2 - u 2 = 1 a ln ⁡ u + a u - a + C .

Passo 1

Primeiro a gente pode fazer:

∫ d u a 2 - u 2 =   - ∫ d u u 2 - a 2

Bom, pra a gente verificar é “só” a gente resolver a integral em termo de u .

A gente pode reescrever ela assim:

∫ d u u - a u + a

Aí a gente vai usar frações parciais. Nesse caso tem dois fatores lineares, então a gente vai usar o caso mais basicão:

1 u - a u + a = A u - a + B u + a

Vamos achar esses A   e   B agora...

Passo 2

Desenvolvendo, a gente fica com:

1 ( u - a ) u + a = A ( u + a ) u - a + B ( u - a ) u + a

Agora a gente pode cortar os denominadores...

1 =   A u + a + B ( u - a )

1 = A u + A a + B u - B a

1 = u A + B + a ( A - B )

A nossa incógnita aqui é u (é só ver que na integral é d u ) , então pra isso ser igual, a gente precisa que:

A + B = 0 a A - B = 1

A gente vê então que A = - B , e aí:

a A - B = a A + A = 1

2 A = 1 a → A = 1 2 a

E o B =   - 1 2 a então😉

Passo 3

Vamos remontar a integral agora:

- ∫ 1 2 a ( u - a ) - 1 2 a u + a d u

Separamos em duas...

- 1 2 a ∫ 1 u - a d u + 1 2 a ∫ 1 u + a d u

Agora é integral direta:

- 1 2 a ln ⁡ u - a + 1 2 a ln ⁡ u + a + C

Pela regra do logaritmo, a gente pode fazer isso aqui:

1 2 a ln ⁡ | u + a | | u - a | + C

Que é exatamente o que queríamos😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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