Enunciado

a Uma maneira de definir s e c - 1 x é dizer que y = s e c - 1 x ↔ sec ⁡ y = x e 0 ≤ y ≤ π ou π ≤ y ≤ 3 π 2 . Mostre que, se essa definição for adotada, então

d d x s e c - 1 x = 1 x x 2 - 1

( b ) Outra maneira de definir s e c - 1 x é dizer que y = s e c - 1 x ↔ sec ⁡ y = x e 0 ≤ y ≤ π , y ≠ 0 . Mostre que, se essa definição for adotada, então

d d x s e c - 1 x = 1 x x 2 - 1

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos mostrar que com base nas definições adotadas, podemos encontrar uma fórmula para a derivada de s e c - 1 x . Para isso, iremos utilizar a derivação implícita.

Passo 2

( a ) Vamos chamar nossa função de y = s e c - 1 x . Dessa forma, sabemos que sec ⁡ y = x para 0 < y < π . Derivando ambos os lados da equação, temos

( sec ⁡ y t g   y ) y ' = 1

Isolando y ' , temos

y ' = 1 sec ⁡ y t g   y

Pela identidade fundamental da trigonometria, sabemos que

t g 2 x = s e c 2 x - 1

t g   x = s e c 2 x - 1

Para y , temos

t g   y = s e c 2 y - 1

Podemos reescrever então a expressão encontrada para y '

y ' = 1 sec ⁡ y t g   y = 1 sec ⁡ y s e c 2 y - 1

Como havíamos estabelecido, sec ⁡ y = x , então temos

y ' = 1 x x 2 - 1

Passo 3

( b ) Para y ≠ 0 , então sec ⁡ y = x = x e

t g   y = ± s e c 2 y - 1

Para t g   y = s e c 2 y - 1

Temos

y ' = 1 sec ⁡ y s e c 2 y - 1 = 1 x x 2 - 1

E para

t g   y = - s e c 2 y - 1

Temos

y ' = 1 - sec ⁡ y s e c 2 y - 1 = 1 - x x 2 - 1 = 1 x x 2 - 1

Resposta

( a ) Como queremos mostrar, para as considerações feitas temos

y ' = 1 x x 2 - 1

( b ) Como queremos mostrar, para as considerações feitas temos

y ' = 1 x x 2 - 1

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