Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

4 x + y 2 = 12 ,   x = y

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos calcular a área da seguinte região delimitada pelas curvas:

4 x + y 2 = 12 ,   x = y

Primeiramente, devemos encontrar a interseção das curvas:

4 x + y 2 = 12

Como y = x , temos:

4 x + x 2 = 12

x + 6 x - 2 = 0

Dessa forma, ou x = 2 ou x = - 6 e y = 2 ou y = - 6 . Podemos esboçar a curva. Vamos ter uma reta e uma parábola com concavidade pra esquerda:

Passo 2

Fica mais fácil calcular a integral em relação a y , vamos ter as curvas:

4 x + y 2 = 12 → x R = 3 - x 2 4

Q ue é a curva a direita, e:

x L = y

Que é a curva a esquerda e aqui temos o desenho do retângulo aproximante típico:

Passo 3

Agora vamos integrar:

A = ∫ - 6 2 - 1 4 y 2 + 3 - y d y  

A função que vamos integrar é a largura do triângulo aproximante. Nesse caso é mais conveniente integrar em relação a y .

A = ∫ - 6 2 - 1 4 y 2 + 3 - y d y = - y 3 12 + 3 y - y 2 2 - 6 2 = 64 3

Prontinho!

Resposta

A = 64 3

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