Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 6.1 - Ex. 12

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desse livro

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

4 x + y 2 = 12 ,   x = y

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos calcular a área da região delimitada utilizando a integração, iremos esboçar a região e desenhar um retângulo aproximante. Para isso, iremos utilizar a seguinte definição de área

Passo 2

Primeiramente, devemos encontrar a interseção das curvas.

4 x + y 2 = 12

Como y = x , temos

4 x + x 2 = 12

x + 6 x - 2 = 0

Dessa forma, ou x = 2 ou x = - 6 e y = 2 ou y = - 6 . Podemos esboçar a curva

Passo 3

Utilizando a definição do passo 1 , temos

A = ∫ - 6 2 - 1 4 y 2 + 3 - y d y  

A = ∫ - 6 2 - 1 4 y 2 + 3 - y d y = - y 3 12 + 3 y - y 2 2 - 6 2 = 64 3

Resposta

A = 64 3

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