Enunciado

Uma massa pesando 3   l b   ( ≈ 1,36 k g ) estica uma mola de 3   i n   ≈ 7,6   c m . Se a massa for empurrada pra cima, contraindo a mola de 1   i n , e depois for colocada em movimento com uma velocidade para baixo de 2   f t / s * (cerca de 61   c m / s ), e se não houver amortecimento, encontre a posição s da massa em qualquer instante t . Determine a frequência, o período, a amplitude e a fase do movimento.

Passo 1

Equacionando nosso problema, temos

F = m a

Segunda Lei de Newton

No caso de molas, que são consideradas formas restauradoras, temos que

F =   - k s

Onde k é a contantes da mola, e s é sua posição em relação à posição de repouso.

Desta forma ficamos com

m a = m s ' ' = - k s

Nossa equação diferencial.

Já resolvemos anteriormente problemas assim, mas a seção também aborda essa equação diferencial e nos da como solução

s = A cos ⁡ ω 0 t + B   s e n   ω 0 t

Onde

ω 0 2 = k / m

Chamada de frequência natural.

Qualquer duvida com relação a isso, olhar as Eq. (12) e (13).

Pela Eq.(15), vemos que a Eq.(12) pode ser escrita como

s = R cos ⁡ ( ω 0 t - δ )

Que é exatamente o que queremos escrever no final, ou algo parecido.

Passo 2

Vamos lá!!!

Vamos inicialmente fazer algumas considerações físicas do nosso problema para formula-lo matematicamente, ok?

Temos uma massa de aproximadamente 1,36 k g (unidade no SI) suspensa por uma mola de esticada de 3   i n = 7,6   c m = 0,076 m (unidade no SI), que chamamos de posição de repouso.

Nossa mola então é contraída a 1   i n = 0,0253 m para cima. Ela então é solta com uma velocidade de 2   f t / s * = 61   c m / s . Dizemos que tudo isso se passa em nosso t = 0 .

Este é o tipíco exercício que nos faz odiar o sistema métrico americano. Mas vamos resolve-lo utilizando-as e tentar entender algumas coisinhas.

Primeiro temos que a unidade l b , libras pode ser sugerida como unidade de peso, assim podemos fazer que

k = P d

Onde P é o peso e d a distância que a mola estica. Outra coisa importante é saber que 12   i n = 1   f t , ou seja, 12 polegadas é igual a 1 pé, unidade de comprimentos. Assim

k = 3   l b ( 1 / 4 ) f t = 12 l b f t

Como vimos podemos escrever nossa equação diferencial como

s ' ' + k m s = 0

Assim tome que

m = 3   l b 32   l b ⋅ s 2 / f t

Que é o Peso pela gravidade em unidades estranhas hahaha

Logo temos que

s ' ' + 128   s = 0

Que temos como solução

s = A   s e n   128 t + B cos ⁡ 128 t = A   s e n   8 2 t + B cos ⁡ 8 2 t

Passo 3

Agora vamos tomar as condições iniciais, onde

s 0 = A ⋅ s e n   0 + B ⋅ cos ⁡ ( 0 ) = 1 12 f t s ' 0 = 8 2 A ⋅ cos ⁡ 0 - B   s e n   0 = - 2   f t / s

Que nos dá

B = 1 12   f t

A = - 1 / 4 2

E assim temos

s =   - 1 4 2 s e n 8 2 t + 1 12 cos ⁡ 8 2 t

Com ω 0 = 8 2 e T = 2 π ω 0 = π 4 2

Passo 4

Para acharmos a amplitude, tome que queremos escrever nossa função como

s = R cos ⁡ ( ω 0 t - δ )

Onde abrindo, temos

s = R cos ⁡ ω 0 t cos ⁡ δ + R   s e n   ω 0 s e n   δ

Onde deveríamos ter que

R cos ⁡ δ = 1 12 R   s e n   δ = - 1 4 2

Assim elenando os dois lados ao quadrado e somando tudo

R 2 = - 1 4 2 2 + 1 12 2 = 1 32 + 1 144 = 144 + 32 144 ⋅ 32 = 11 288 → R = 12 11 2

Com uma fase

tan ⁡ δ = - 1 4 2 ⋅ 12 = - 3 2

δ = arctan ⁡ - 3 2 = π - arctan ⁡ 3 2  

Resposta

s = - 5 7 s e n   14 t

T = π / 14

R = 12 11 2

δ = π - arctan ⁡ 3 2  

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