Enunciado

Um peso atado a uma mola apresenta movimento harmônico simples. Mostre que a aceleração máxima do peso ocorre em um ponto de deslocamento extremo e tem magnitude 4 π 2 A / T ² , em que A é a amplitude e T , o período das vibrações livres.

Passo 1

Salveee, beleza?

Vamos lá matar esse probleminha

Primeiramente, temos que lembrar a formulazinha que descreve o movimento harmônico simples, lembra? Ela vai ser:

x t = A . s e n ω t + ϕ

Belezinha, mas essa expressão ta descrevendo o espaço x em relação ao tempo t . Mas o que queremos é a ( t ) , para aí estudarmos a aceleração máxima

Calma cara, é só a gente lembrar que a aceleração é a segunda derivada do espaço, então vamos derivar x ( t ) duas vezes

A primeira vez:

x ' t = v t = ω . A . cos ⁡ ω t + ϕ

E agora a segunda vez:

x ' ' t = a t = - ω ² . A . sen ⁡ ω t + ϕ

Beleza, essa é a fórmula da aceleração no movimento harmônico simples. Agora vamos usar as super técnicas que vimos lá em cálculo 1 para encontrarmos a expressão da aceleração máxima, fechou?

Passo 2

Temos:

a t = - ω 2 . A . sen ⁡ ω t + ϕ   ( I )

Para encontrarmos a aceleração máxima, temos que encontrar um ponto de máximo em a ( t )

O primeiro passo é derivar a ( t ) , bora lá:

a ' t = - ω ³ . A . cos ⁡ ω t + ϕ

Agora temos que encontrar os pontos críticos, e pra isso, vamos igualar a derivada a 0:

a ' t = 0

- ω 3 . A . cos ⁡ ω t + ϕ = 0

Como ω e A são constantes não nulas, nosso a ' ( t ) só vai ser zero quando:

cos ⁡ ω t + ϕ = 0

Ta, mas vamos lembrar: o que acontece quando o cosseno vale 0?? O seno vale ± 1 , não é? É só lembrarmos do círculo trigonométrico

Dessa forma, os pontos críticos candidatos a máximos ocorrem quando

sen ⁡ ω t + ϕ = ± 1     ( I I )

Passo 3

Substituindo ( I I ) em ( I ) , temos que a aceleração máxima ocorre em:

a t = - ω 2 . A . ( ± 1 )

a t = - ω 2 . ( ± A )

Vamos arrumar esse ω aí. Sabemos que ω = 2 π T , então, substituindo:

a t = - 2 π T 2 . A

Então:

a t = - 4 π ² A T ²

Ta provadinho :)

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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