Enunciado

a. Máximo em uma reta de interseção Encontre o valor

máximo de w = xyz na reta de interseção dos dois planos

x + y + z = 40 e x + y – z = 0.

b. Forneça um argumento geométrico para justificar sua afirmação de que você encontrou um valor máximo, e não mí-

nimo, de w

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

a. Neste exercício, encontraremos o máximo valor de w = x y z sobre a reta de interseção de dois planos x + y + z = 40 e x + y - z = 0 .b. Daremos um argumento geométrico para provar que a nossa resposta corresponde a um valor máximo, e não um valor mínimo. Vamos lá!

Passo 2

a. Começaremos, reescrevendo as restrições da seguinte maneira:

g 1 ( x , y , z ) = x + y + z - 40 = 0 g 2 ( x , y , z ) = x + y - z = 0

Passo 3

Agora, calculando os gradientes das funções, temos:

∇ g 1 = i + j + k ∇ g 2 = i + j - k ∇ w = y z i + x z j + x y k

Aplicaremos agora o método dos multiplicadores de Lagrange para solucionarmos o exercício:

∇ w = λ ∇ g 1 + μ ∇ g 2 y z i + x z j + x y k = λ ( i + j + k ) + μ ( i + j - k )

Passo 4

Separando as componentes teremos:

y z = λ + μ x z = λ + μ . x y = λ - μ

Passo 5

Observamos então que y z = x z . Isso nos leva a concluir que: z = 0 ou y = x .Caso 1: Se z = 0 , então:

x + y = 40 x + y = 0

Caso 1, portanto, não possui solução.

Passo 6

Caso 2: Se x = y , então:

2 x + z - 40 = 0 2 x - z = 0

Passo 7

Encontramos que z = 20 , levando a:

x = 10 y = 10

Portanto, o valor máximo que a função pode assumir, então é: w = ( 10 ) ( 10 ) ( 20 ) = 2000 .b. Seja n = i j k 1 1 1 1 1 - 1 = - 2 i + 2 j (linha paralela à interseção). Logo, a reta é:

x = - 2 t + 10 y = 2 t + 10 z = 20

Passo 8

Como z = 20 , aplicando na função w = x y z , chegamos a:

w = ( - 2 t + 10 ) ( 2 t + 10 ) ( 20 ) w = - 4 t 2 + 100 ( 20 )

Portanto, para a função w = - 4 t 2 + 100 ( 20 ) , o valor máximo ocorre quando t = 0 . Substituindo nas equações de x e y , encontraremos:

x = 10 , y = 10 , z = 20

que comprova o nosso resultado.

Resposta

Resposta nos passos.

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