Enunciado

Mínima distância à origem Encontre os pontos na superfí-

cie z2 = xy + 4 mais próximos à origem

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, nosso objetivo é encontrar os pontos sobre a superficie z 2 = x y + 4 mais próximo da origem. Fique atento aos passos e vamos lá!

Passo 2

Seja f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 o quadrado da distância até a origem. Seu gradiente será então: ∇ f = 2 x i + 2 y j + 2 z k .

Passo 3

E o gradiente da função z 2 = x y + 4 é:

∇ g = - y i - x j + 2 z k

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, temos:

∇ f = λ ∇ g 2 x i + 2 y j + 2 z k = λ ( - y i - x j + 2 z k )

Separando as componentes, acharemos:

2 x = - y λ 2 y = - x λ 2 z = 2 z λ

O que nos permite ter então λ = 1 ou z = 0 .Veja o Caso 1: Se λ = 1 , então

2 x = - y 2 y = - x

Assim: y = 0 , x = 0 e

z 2 - 4 = 0 z = ± 2

Caso 2: Se z = 0 , l o g ⁡ 0 :

  - x y - 4 = 0 y = - 4 x 2 x = 4 x λ λ = x 2 2  e  - 8 x = - x λ

Passo 4

Observe que encontraremos:

  - 8 x = - x 2 2 x 4 = 16 x = ± 2

Dessa maneira, podemos ter:

x = 2 , y = - 2  ou .  x = - 2 , y = 2

Veja, portanto, que temos quatro pontos possíveis: ( 2 , - 2,0 ) , ( - 2,2 , 0 ) , ( 0,0 , 2 ) , ( 0,0 , - 2 ) , entretanto, os pontos ( 0,0 , 2 ) , ( 0,0 , - 2 ) estão mais próximos da origem do que os outros dois.

Resposta

Resposta nos passos.

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