Enunciado

A meia-vida do rádio-226 é de 1.620 anos.

a) Obter o modelo de decaimento exponencial para esta substância.

b) Após 700 anos, qual o percentual de uma dada quantidade inicial de rádio ainda resta?

Passo 1

a) Então pessoal, de acordo com o capítulo 2 da Diva, temos que o modelo de decaimento exponencial de uma substância é dado pela seguinte equação:

M t = M o e - k t

No qual:

M t = massa presente num instante de tempo qualquer;

M o = massa inicial;

k = constante qualquer;

t = tempo.

Passo 2

O enunciado nos diz que a meia vida da substância é de 1620 anos, dessa forma podemos escrever que para esse tempo:

M = M o 2

Substituindo na nossa equação de decaimento, obteremos:

M o 2 = M o e - 1620 k

Simplificando:

0,5 = e - 1620 k

Aplicando l n em ambos os lados da equação:

ln ⁡ 0,5 = ln ⁡ e - 1620 k

- 1620 k = ln ⁡ 0,5 ln ⁡ e ⇒ - 1620 k = - 0,69314

k = - 0,69314 - 1620 ≅ 4,28.10 - 4

Logo, agora que achamos k , podemos reescrever nossa equação como:

M t = M o . e - 0,000428 t

Passo 3

b) Para calcularmos isso basta substituirmos t = 700 na expressão que encontramos no passo anterior, saca só:

M t = M o . e - 0,000428 t

M 700 = M o . e - 0,000428 . 700

M 700 ≅ 0,74 . M o

Sendo assim, o percentual da quantidade inicial que foi perdida equivale a:

0,74.100 = 74 %

E esse é o nosso resultado! 😊

Resposta

a) M t = M o . e - 0,000428 t

b) 74 %

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